《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

8. 如图 5,已知二次函数图象的顶点坐标为 $ (1, 2) $,与 $ y $ 轴的交点为 $ C(0, 3) $。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)已知点 $ A(-1, 1) $,$ B(3, 1) $,且该二次函数图象向下平移 $ m $ 个单位后,与线段 $ AB $ 有公共点,结合函数图象,求出 $ m $ 的取值范围。
小锦囊 将抛物线向下平移,分别求出当抛物线与线段 $ AB $ 只有一个交点时,和有两个交点,且交于点 $ A $,$ B $ 时对应的 $ m $ 的值,即可确定 $ m $ 的取值范围。

答案： 解:
(1)由该二次函数图象的顶点坐标为(1,2),可设这个二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2+2.$由函数图象过点(0,3),得$a(0-1)^2+2=3.$解得a=1.所以该二次函数的表达式为$y=(x-1)^2+2. (2)$由A(-1,1),B(3,1),得线段AB的中点为(1,1),对称轴为直线x=1.如图 41,当该二次函数图象向下平移m个单位后,与线段AB只有一个公共点时,m=1.因为二次函数图象与线段AB的对称轴都是直线x=1,所以根据图象的对称性,可知平移后的图象与点A,B同时相交.当二次函数图象向下平移m个单位后,与线段AB有2个公共点,且恰好为点A,B时,设平移后的二次函数表达式为$y=(x-1)^2+c.$将A(-1,1)代入,得$(-1-1)^2+c=1.$解得c=-3.则平移后的二次函数表达式为$y=(x-1)^2-3.$此时二次函数图象向下平移 5 个单位,即m=5.综上所述,m的取值范围为1≤m≤5.

9. 如图 6,已知抛物线的顶点为 $ A(1, 4) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B(0, 3) $,与 $ x $ 轴交于 $ C $,$ D $ 两点,$ P $ 是 $ x $ 轴上的一个动点。
(1)求该抛物线所表示的函数的表达式。
(2)当 $ PA + PB $ 的值最小时,求点 $ P $ 的坐标。

答案： 解:
(1)由抛物线顶点为A(1,4),可设函数表达式为$y=a(x-1)^2+4.$因为抛物线过点B(0,3),所以$a(0-1)^2+4=3.$解得a=-1.所以该抛物线表示的函数表达式为$y=-(x-1)^2+4. (2)$如图 42,作点B关于x轴的对称点E(0,-3),连接AE交x轴于点P,连接PB.则PA+PB=PA+PE=AE,此时,PA+PB的值最小.设直线AE所表示的函数表达式为y=kx+b,把点A(1,4),E(0,-3)代入,得{k + b = 4, b = -3.}解得{k=7, b=-3.}所以y=7x-3.当y=0时,x=3/7,所以点P的坐标为(3/7,0).