《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. (2023 广西中考)据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020 年和 2022 年全国居民人均可支配收入分别为$3.2万元和3.7$万元。设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为$x$,依题意可列方程( )。

A.$3.2(1 - x)^{2}= 3.7$
B.$3.2(1 + x)^{2}= 3.7$
C.$3.7(1 - x)^{2}= 3.2$
D.$3.7(1 + x)^{2}= 3.2$

答案： B

6. 若代数式$x^{2}-7x的值为-6$,则代数式$x^{2}-3x + 5$的值是( )。

A.$3$
B.$23$
C.$3或23$
D.不能确定

答案： C 提示:由题意,得$x^2-7x=-6$,解得$x_1=1$,$x_2=6$.当$x=1$时,$x^2-3x+5=3$;当$x=6$时,$x^2-3x+5=23$.

7. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-4x + k = 0$无实数根,则$k$的取值范围是( )。

A.$k＜4$
B.$k＞4$
C.$k＜-4$
D.$k＞1$

答案： B

8. (2024 四川凉山中考)若关于$x的一元二次方程(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0的一个根是x = 0$,则$a$的值为( )。

A.$2$
B.$-2$
C.$2或-2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

9. (2024 内蒙古赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x + 21 = 0$的两个根,则这个三角形的周长为( )。

A.$17或13$
B.$13或21$
C.$17$
D.$13$

答案： C 提示:解方程$x^2-10x+21=0$,得$x_1=3$,$x_2=7$.当等腰三角形的边长是3,3,7时,不符合三角形的三边关系,因此$x=3$不符合题意,舍去.所以等腰三角形的边长是7,7,3(符合三角形三边关系),周长为$7+7+3=17$.

10. 已知$x_{1}$,$x_{2}是关于x的一元二次方程x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}= 0$的两个实数根,且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 1$,则$k$的值是( )。

A.$3$
B.$-1$
C.$3或-1$
D.$-3或1$

答案： A 提示:由题意,得$x_1+x_2=2k+3$,$x_1x_2=k^2$,$k≠0$.因为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1$,所以$\frac{2k+3}{k^2}=1$.方程两边同乘$k^2$,得$2k+3=k^2$.解得$k_1=3$,$k_2=-1$.当$k=-1$时,$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$,此时原方程无实数根,因此$k=-1$舍去.故$k=3$.

11. 将方程$4x^{2}-8x - 1 = 0配方成a(x + m)^{2}= n$的形式,结果是______。

答案： $4(x-1)^2=5$

12. (2024 甘肃临夏中考)若关于$x的一元二次方程x^{2}+2x - m = 0$有两个相等的实数根,则$m$的值为______。

答案： -1

13. 设$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}+2x - 3 = 0$的两个实数根,则$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$的值为______。

答案： 6 提示:由题意,得$x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=-3$.故$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=(-3)×(-2)=6$.

14. 如图 1,计划用$30m长的围栏靠墙围成面积为100m^{2}$的矩形小花园(墙长$15m$),则与墙平行的边的长为______$m$。

答案： 10 提示:设与墙垂直的边长为$x\ m$,根据题意,得$(30-2x)x=100$.解得$x_1=5$,$x_2=10$.当$x=5$时,$30-2x=20＞15$,故$x=5$不合题意,舍去.因此$x=10$,$30-2x=10$.

15. (每小题 4 分,共 16 分)解下列方程：
(1) $(2x - 1)^{2}-121 = 0$；
(2) $x^{2}-4x - 21 = 0$；
(3) $(x - 3)(x - 1)= 3$；
(4) $2x^{2}-5x= -1$。

答案：
(1)原方程可化为$(2x-1)^2=121$.根据平方根的意义,得$2x-1=11$或$2x-1=-11$.因此原方程的根为$x_1=6$,$x_2=-5$.
(2)配方,得$x^2-4x+4-4-21=0$,即$(x-2)^2=25$.由此得$x-2=5$或$x-2=-5$.解得$x_1=7$,$x_2=-3$.
(3)原方程可化为$x^2-4x=0$.把方程左边因式分解,得$x(x-4)=0$.由此得$x=0$或$x-4=0$.解得$x_1=0$,$x_2=4$.
(4)原方程可化为$2x^2-5x+1=0$.这里$a=2$,$b=-5$,$c=1$,因而$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$.所以$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$.因此,原方程的根为$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.