《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 一元二次方程
如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有______个未知数的______次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程。
它具有三个特征：①方程是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。

答案： 一 二

2. 一元二次方程的一般形式表示为______(a,b,c是已知数,a≠0),其中______是二次项系数,______是一次项系数,______是常数项。

答案： $ax^{2}+bx+c=0$ a b c

1. 下列方程为一元二次方程的是( )。

A.$3x^{2}+y= 2$
B.$x^{2}-\frac{1}{x}+1= 0$
C.$x^{2}-5x= 3$
D.$x^{2}+x= x^{2}-1$

答案： C

2. 将一元二次方程$x(x - 2)= 5$化为一般形式,结果是______,其中二次项系数是______,一次项系数是______,常数项是______。

答案： $x^{2}-2x-5=0$ 1 -2 -5

3. 某手套厂家今年1月的产量是30万个,3月的产量是50万个。若设该厂家1月到3月产量的月平均增长率为x,则可列方程为______。

答案： $30(1+x)^{2}=50$

例1(教材第27页例题变式)判断下列方程是否为一元二次方程,若是,指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)$ax^{2}+bx+c= 0$；(2)$3x^{2}-\frac{4}{x}+6= 0$；
(3)$2x^{2}+1= 0$；(4)$x^{2}+y-1= 0$；
(5)$x(x + 3)= x^{2}+6$；
(6)$3(x - 1)(x + 3)= x + 4$。
思路点拨 若方程中有括号,则先去括号整理成一般形式再进行判断。
|序号|结果|原因|
|(1)|不一定是|当a= 0时,它不是一元二次方程|
|(2)|不是|不是整式方程|
|(3)|是|符合一元二次方程的概念|
|(4)|不是|含有两个未知数|
|(5)|不是|整理,得$3x= 6$,未知数的最高次数是1|
|(6)|是|整理,得$3x^{2}+5x - 13= 0$,符合一元二次方程的概念|

解 方程(3)和(6)是一元二次方程。
其中,方程$2x^{2}+1= 0$的二次项系数为2,一次项系数为0,常数项为1。
将方程$3(x - 1)(x + 3)= x + 4$去括号、移项、整理,得$3x^{2}+5x - 13= 0$,它的二次项系数为3,一次项系数为5,常数项为-13。
易错提醒
(1)判断一个方程是否为一元二次方程,应先整理成一般形式再判断,否则易判断错误,例如,误认为$x(x + 3)= x^{2}+6$是一元二次方程,其实方程整理后是一元一次方程。
(2)一元二次方程各项系数及常数项应包含前面的符号,确定各项系数时应将方程化为一般形式,否则易出错。
(3)当一元二次方程的系数中含字母时,要注意二次项系数不能为0这个隐含条件,当二次项系数等于0时,方程不再是一元二次方程。

答案： |序号|结果|原因|
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(1)|不一定是|当$a = 0$时，它不是一元二次方程|
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(2)|不是|不是整式方程|
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(3)|是|符合一元二次方程的概念|
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(4)|不是|含有两个未知数|
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(5)|不是|整理，得$3x = 6$，未知数的最高次数是1|
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(6)|是|整理，得$3x^{2}+5x - 13 = 0$，符合一元二次方程的概念|
方程
(3)和
(6)是一元二次方程。
方程$2x^{2}+1 = 0$的二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为1。
方程$3(x - 1)(x + 3)=x + 4$整理得$3x^{2}+5x - 13 = 0$，其二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为-13。