《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

相似三角形的判定定理2：两边______且夹角______的两个三角形相似。

答案： 成比例　相等

1. 下列三角形中,与图1中△ABC相似的是( ).

A.
B.
C.
D.

答案： C

2. 如图2,已知∠C= ∠E,下列条件中,添加后不一定能使△ABC∽△ADE的是( ).


A.∠BAC= ∠DAE
B.∠B= ∠D
C.$\frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$
D.$\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$

答案： D　提示:已知∠C=∠E,∠BAC=∠DAE或∠B=∠D,都可以根据“两角分别相等”判定△ABC∽△ADE;已知∠C=∠E,$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,可以根据“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△ADE.

例 如图3,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{3}$,AE= EB. 求证：△AED∽△CBD.

答案： 证明：设等边△ABC的边长为$a$。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC=AC=a$，$\angle A=\angle C=60°$。
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AC=a$，
∴$AD=\frac{1}{3}a$，$DC=AC-AD=a-\frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a$。
∵$AE=EB$，$AB=a$，
∴$AE=\frac{1}{2}a$。
在△AED和△CBD中：
$\frac{AE}{CB}=\frac{\frac{1}{2}a}{a}=\frac{1}{2}$，
$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{2}{3}a}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CD}$。
又
∵$\angle A=\angle C=60°$，
∴△AED∽△CBD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

1. 如图4,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将这个四边形分成①②③④四个三角形. 若$\frac{OA}{OC}= \frac{OB}{OD}$,则下列结论一定正确的是( ).


A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与③相似

答案： B