《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 1 如图 3,△ABC∽△ADE.

(1)已知$∠A = 72°$,$∠B = 41°$,求$∠ADE和∠AED$的度数.
(2)已知$AB = 5$cm,$AD = 3$cm,$BC = 6$cm,求$DE$的长.

答案：
(1)∠ADE=41°，∠AED=67°；
(2)DE=$\frac{18}{5}$cm.

例 2 (教材第 76 页第 4 题变式)如图 4,把矩形 ABCD 对折,折痕为 MN,矩形 MABN 与矩形 ABCD 相似,且$AB = 8$.

(1)求$BC$的长.
(2)求矩形 MABN 与矩形 ABCD 的相似比.

答案：
(1) 设 $BC = x$，由于矩形 $ABCD$ 对折后得到矩形 $MABN$，且 $AB = 8$，则 $AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = \frac{x}{2}$。
由于矩形 $MABN$ 与矩形 $ABCD$ 相似，根据相似矩形的性质，有：
$\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{AB}$，
代入已知条件 $AB = 8$ 和 $AM = \frac{x}{2}$，得：
$\frac{8}{x} = \frac{\frac{x}{2}}{8}$，
解这个方程，得到：
$x^2 = 128$，
$x = 8\sqrt{2}$，
由于 $x$ 代表长度，所以只取正值。
因此，$BC$ 的长为 $8\sqrt{2}$（负值舍去）。
(2) 矩形 $MABN$ 与矩形 $ABCD$ 的相似比为：
$\frac{AM}{AB} = \frac{\frac{x}{2}}{8} = \frac{8\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
也可表示为 $\frac{AB}{BC} = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因此，矩形 $MABN$ 与矩形 $ABCD$ 的相似比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。