《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 如图7,某地四个乡镇$A$,$B$,$C$,$D$之间建有公路,已知$AB = 14$ km,$AD = 28$ km,$BD = 21$ km,$BC = 42$ km,$DC = 31.5$ km. 公路$AB与CD$平行吗？请说明理由.

答案： 解:公路AB与CD平行.理由:
∵ $\frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$,$\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$,$\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{AB}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{DC}$.
∴ △ABD∽△BDC.
∴ ∠ABD=∠BDC.
∴ AB//CD.故公路AB与CD平行.

5. 如图8,已知四边形$ABCD$,$CDEF$,$EFGH$都是正方形,则$\angle 1 + \angle 2$的度数为______.

答案： 45°　提示:由题图可得$\frac{AC}{FC}=\frac{CG}{CA}=\frac{AG}{FA}$.故△GCA∽△ACF.所以∠1=∠CAF.又∠ACB=45°,故∠CAF+∠2=45°.所以∠1+∠2=45°.

6. 如图9,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是边AB$,$AC$上的点,$AD = 3$,$AE = 6$,$DE = 5$,$BD = 15$,$CE = 3$,$BC = 15$. 根据以上条件,你认为$\angle B = \angle AED$吗？请说明理由.

答案： 解:∠B=∠AED.理由:由题意,得AB=AD+BD=3+15=18,AC=AE+CE=6+3=9.
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{9}{3}=3$,$\frac{AB}{AE}=\frac{18}{6}=3$,$\frac{BC}{ED}=\frac{15}{5}=3$.
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$.
∴ △ABC∽△AED.
∴ ∠B=∠AED.

7. 如图10,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在格点上,$P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$,$P_{5}是\triangle DEF$边上的5个格点.
(1)判断：$\triangle ABC$是______三角形.
(2)$\triangle ABC和\triangle DEF$是否相似？请说明理由.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$,$P_{5}$中的3个格点,并且与$\triangle ABC$相似.

答案： 解:
(1)直角　
(2)△ABC和△DEF相似.理由:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$DE=4\sqrt{2}$,$DF=2\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{10}$.
∵ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$,
∴ △ABC∽△DEF.　
(3)如图11,△P2P4P5为所求.