《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 如图 6,一次函数 $ y = x + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象相交于点 $ A(1,4) $,$ B(-4,n) $,与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。

(1)求一次函数和反比例函数的表达式。
(2)求 $ \triangle AOB $ 的面积。
(3)直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时自变量 $ x $ 的取值范围。

答案：
(1) 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 过点 $A(1,4)$，代入得：
$4 = \frac{k}{1} \Rightarrow k = 4$，
所以反比例函数的表达式为 $y = \frac{4}{x}$。
再将点 $B(-4,n)$ 代入 $y = \frac{4}{x}$ 得：
$n = \frac{4}{-4} \Rightarrow n = -1$，
所以 $B(-4, -1)$。
将点 $A(1,4)$ 代入一次函数 $y = x + b$ 得：
$4 = 1 + b \Rightarrow b = 3$，
所以一次函数的表达式为 $y = x + 3$。
(2) 已知一次函数 $y = x + 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，则 $C(0,3)$。
$\triangle AOB$ 的面积可以通过以下方式计算：
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × OC × |x_A - x_B| = \frac{1}{2} × 3 × |1 - (-4)| = \frac{1}{2} × 3 × 5 = \frac{15}{2}$，
综上，$\triangle AOB$ 的面积为：$\frac{15}{2}$。
(3) 观察图象，当 $x ＞ 0$ 时，一次函数的值大于反比例函数的值，即 $x + 3 ＞ \frac{4}{x}$，解得 $x ＞ 1$。
当 $x ＜ 0$ 时，一次函数的值大于反比例函数的值，即 $x + 3 ＞ \frac{4}{x}$，解得 $-4 ＜ x ＜ 0$。
综上，自变量 $x$ 的取值范围为 $-4 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 1$。