《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 如图12,$A$,$B$,$C$,$D是\odot O$上的四点,$C为\overset{\frown}{BD}$的中点,若$\angle A = 25^{\circ}$,则$\angle CBD$的度数为______.

答案： 25°

5. 如图13,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$,$\angle ABC = 70^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为______.

答案： 80°　提示:由$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$,得∠ACB=∠ABC=70°.则∠BAC=40°.故∠BOC=2∠BAC=80°.

6. 如图14,已知$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D在\odot O$上,$\angle AOC = 140^{\circ}$. 求$\angle D$的度数.
]

答案： 解:
∵　∠AOC=140°,AB是⊙O的直径，
∴　∠BOC=180°−140°=40°.又圆周角∠D和圆心角∠BOC所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$,
∴　∠D=$\frac{1}{2}$∠BOC=20°.

7. 如图15,将一块等腰直角三角尺放在以$AB为直径的半圆O$上,锐角顶点$P在半圆O$上,$\angle P的两边分别交半圆O于B$,$Q$两点. 连接$BQ$,若$AB = 2$,则$BQ$的长是______.
]

答案： $\sqrt{2}$　提示:连接OQ,则OB=OQ=1.因为圆周角∠BPQ和圆心角∠BOQ所对的弧为$\overset{\frown}{BQ}$,所以∠BOQ=2∠BPQ=90°.故BQ=$\sqrt{OB^{2}+OQ^{2}}$=$\sqrt{2}$.

8. 如图16,在$\odot O$中,$D$,$E分别为\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{AC}$的中点,弦$DE交AB于点F$,交$AC于点G$. 求证：$AF \cdot AG = DF \cdot EG$.
]

答案： 证明:
∵　D,E分别为$\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴　$\overset{\frown}{AD}$=$\overset{\frown}{BD}$,$\overset{\frown}{AE}$=$\overset{\frown}{EC}$.
∴　∠E=∠DAB,∠D=∠CAE.
∴ △ADF∽△EAG.
∴　$\frac{AF}{EG}$=$\frac{DF}{AG}$.
∴　AF·AG=DF·EG.

9. 如图17,$\odot O$的半径为1,$A$,$P$,$B$,$C是\odot O$上的四个点,$\angle APC = \angle CPB = 60^{\circ}$.
(1)判断$\triangle ABC$的形状,并证明你的结论.
(2)试写出线段$PA$,$PB$,$PC$之间的数量关系,并证明你的结论.
]

答案：
(1)△ABC是等边三角形.证明:在⊙O中,
∵　∠BAC与∠CPB都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,∠ABC与∠APC都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角,∠APC=∠CPB=60°,
∴　∠BAC=∠CPB=60°,∠ABC=∠APC=60°.
∴　△ABC 为等边三角形　　
(2)PC=PA+PB.证明:如图63,在PC上截取PD=AP,连接AD.
∵　∠APC=60°,PD=AP,
∴　△APD是等边三角形.
∴　AD=AP=PD,∠ADP=60°.
∴　∠ADC=120°.又∠APB=∠APC+∠CPB=120°,
∴　∠ADC=∠APB.
∵　圆周角∠ABP和圆周角∠ACD所对的弧为$\overset{\frown}{AP}$,
∴　∠ABP=∠ACD. 在△APB和△ADC中,$\begin{cases} ∠APB=∠ADC, \\ ∠ABP=∠ACD, \\ AP=AD, \end{cases}$
∴　△APB≌△ADC(AAS).
∴ PB=CD.
∴　PC=PD+CD=PA+PB.