《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 用计算器计算：
(1)cos49°18′≈______(精确到0.0001).
(2)若cosα= 0.5273,则锐角α≈______.(精确到0.1°)

答案：
(1)0.6521　
(2)58.2°

5. 如图4,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC= ______.

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答案： $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 提示:如图20,过点A作$AE\perp BC$交BC的延长线于点E.则$\cos\angle ABC=\frac{BE}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

6. 一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)和sin(α-β)的值可以用如下公式求得：
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ.
例如：sin75°= sin(45°+30°)= $\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
则sin15°的值为______.

答案： $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 提示:$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

7. 如图5,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 5,CD⊥AB于点D,AC= 12.
(1)求sinA.

(2)求cos∠ACD.
(3)求CD的长.
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答案： 解:
(1)在$Rt\triangle ABC$中,$\because BC=5$,$AC=12$,$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=13$.$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$.
(2)$\because CD\perp AB$,$\therefore \angle ACD+\angle A=90^{\circ}$.$\therefore \cos\angle ACD=\sin A=\frac{5}{13}$.
(3)(方法一)$\because \sin A=\frac{CD}{AC}$,$\therefore CD=AC\cdot\sin A=12×\frac{5}{13}=\frac{60}{13}$. (方法二)由面积公式,得$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$.故$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}$.

8. 猜想与证明
【数学猜想】(1)阅读下面的材料,先完成填空,再按要求答题：
sin30°= $\frac{1}{2}$,cos30°= $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
则sin^230°+cos^230°= ______；
sin45°= $\frac{\sqrt{2}}{2}$,cos45°= $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
则sin^245°+cos^245°= ______；
sin60°= $\frac{\sqrt{3}}{2}$,cos60°= $\frac{1}{2}$,
则sin^260°+cos^260°= ______；
……
观察上述等式,猜想：对于任意锐角A,都有sin^2A+cos^2A= ______.

【猜想论证】(2)如图6,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想.
【迁移应用】(3)已知∠A为锐角,且sinA= $\frac{3}{5}$,求cosA的值.
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答案：
(1)1 1 1 1
(2)证明:过点B作$BD\perp AC$于点D.在$Rt\triangle ADB$中,$\sin A=\frac{BD}{AB}$,$\cos A=\frac{AD}{AB}$,由勾股定理,得$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$.$\therefore \sin^{2}A+\cos^{2}A=(\frac{BD}{AB})^{2}+(\frac{AD}{AB})^{2}=\frac{BD^{2}+AD^{2}}{AB^{2}}=1$.
(3)解:$\because \angle A$为锐角,$\sin A=\frac{3}{5}$,$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$,$\therefore \cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$(负值已舍去).