《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

3. (跨学科)(2022 浙江台州中考)如图 5,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高 $ y $(cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)$ x $(cm)的反比例函数,当 $ x = 6 $ 时,$ y = 2 $。
(1) $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为____。
(2) 若火焰的像高为 3 cm,则小孔到蜡烛的距离为____cm。

答案：
(1)$y=\frac{12}{x}$
(2)4

4. 某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜。图 6 是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度 $ y $(℃)随时间 $ x $(h)变化的函数图象,其中 $ BC $ 段是双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 的一部分。
(1) 恒温系统在这天保持大棚内温度 18℃的时间有____h。
(2) 求 $ k $ 的值。
(3) 当恒温系统开启 16 h 时,大棚内的温度为____℃。

答案：
(1)10 提示:恒温系统在这天保持大棚内温度$18\ \degreeC$的时间为$12-2=10(h)$.
(2)解:因为点$B(12,18)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,所以$\frac{k}{12}=18$.解得$k=216$.
(3)13.5 提示:在$y=\frac{216}{x}$中,当$x=16$时,$y=\frac{216}{16}=13.5$.所以当$x=16$时,大棚内的温度为$13.5\ \degreeC$.

5. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时水温每分钟上升 10℃,加热到 100℃时停止,水温开始下降,此时水温 $ y $(℃)与开机后用时 $ x $(min)成反比例关系,直至水温降至 30℃,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序。若在水温为 30℃时接通电源,则水温 $ y $(℃)与时间 $ x $(min)的关系如图 7 所示。
(1) 分别写出水温上升和下降阶段 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
(2) 小萱同学想接高于 50℃的水,她最多需要等待____min。

答案：
(1)解:观察图象可知,当$x=0$时,$y=30$;当$x=7$时,$y=100$.设水温上升阶段$y$关于$x$的函数表达式为$y=ax+b$.把$(0,30)$,$(7,100)$代入,得$\begin{cases}b=30,\\7a+b=100.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=10,\\b=30.\end{cases}$故水温上升阶段的函数表达式为$y=10x+30$$(0\leqslant x\leqslant7)$.设水温下降阶段$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}$.把$(7,100)$代入,得$\frac{k}{7}=100$.解得$k=700$.故水温下降阶段的函数表达式为$y=\frac{700}{x}(7＜x\leqslant\frac{70}{3})$.
(2)$\frac{34}{3}$ 提示:把$y=50$代入$y=10x+30$,得$x=2$.把$y=50$代入$y=\frac{700}{x}$,得$x=14$.把$y=30$代入$y=\frac{700}{x}$,得$x=\frac{70}{3}$.因为$\frac{70}{3}-14+2=\frac{34}{3}(min)$,所以小萱同学想接高于$50\ \degreeC$的水,最多需要等待$\frac{34}{3}\ min$.

6. (跨学科)(2023 湖南郴州中考)在实验课上,小明做了一个实验。如图 8,在仪器左边托盘 $ A $(固定)中放置一个物体,在右边托盘 $ B $(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为 5 g。在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡。改变托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x $ cm($ 0 ＜ x \leq 60 $),记录容器中加入的水的质量,得到下表：

| 托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x $/cm | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 |
| 容器与水的总质量 $ y_1 $/g | 10 | 12 | 15 | 20 | 30 |
| 加入的水的质量 $ y_2 $/g | 5 | 7 | 10 | 15 | 25 |
把表中 $ x $ 与 $ y_1 $ 各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到 $ y_1 $ 关于 $ x $ 的函数图象(如图 9)。
(1) 请在图 9 的平面直角坐标系中作出 $ y_2 $ 关于 $ x $ 的函数图象。

(2) 观察函数图象,并结合表中的数据：
① 猜想并求出 $ y_1 $ 与 $ x $ 之间的函数关系。
② $ y_2 $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是____。
③ 当 $ 0 ＜ x \leq 60 $ 时,$ y_1 $ 随 $ x $ 的增大而____(填“增大”或“减小”),$ y_2 $ 随 $ x $ 的增大而____(填“增大”或“减小”),$ y_2 $ 的图象可以由 $ y_1 $ 的图象向____(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到。
(3) 已知在容器中加入的水的质量 $ y_2 $(g)满足 $ 19 \leq y_2 \leq 45 $,求托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x $(cm)的取值范围。

答案：

(1)作出$y_2$关于$x$的函数图象,如图6.
(2)①观察表格可知,$y_1$是$x$的反比例函数.设$y_1=\frac{k}{x}$.把$(30,10)$代入,得$10=\frac{k}{30}$.解得$k=300$.所以$y_1$与$x$之间的函数表达式是$y_1=\frac{300}{x}$. ②$y_2=\frac{300}{x}-5$ 提示:因为$y_1=y_2+5$,所以$y_2+5=\frac{300}{x}$.故$y_2=\frac{300}{x}-5$. ③减小 减小 下
(3)由
(1)得$y_2=\frac{300}{x}-5$.当$y_2=19$时,有$19=\frac{300}{x}-5$.解得$x=12.5$.当$y_2=45$时,有$45=\frac{300}{x}-5$.解得$x=6$.因此$x$的取值范围是$6\leqslant x\leqslant12.5$.