《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例2 如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 12$ cm,$BC = 24$ cm,动点$P从点A出发沿边AB向点B$以2 cm/s的速度移动(不与点$B$重合),同时动点$Q从点B出发沿边BC向点C$以4 cm/s的速度移动(不与点$C$重合).设运动的时间为$t$ s,四边形$APQC的面积为y$ $cm^{2}$.

(1)求$y与t$之间的函数表达式.
(2)求自变量$t$的取值范围.

答案：
(1) 由题意得，$AP = 2t$ cm，$BQ = 4t$ cm。
$\because AB = 12$ cm，$\angle B = 90°$，
$\therefore BP = AB - AP = (12 - 2t)$ cm。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144$ cm²。
$\triangle PBQ$的面积为$\frac{1}{2} × BP × BQ = \frac{1}{2} × (12 - 2t) × 4t = (24t - 4t^2)$ cm²。
$\because$ 四边形$APQC$的面积$y = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle PBQ}$，
$\therefore y = 144 - (24t - 4t^2) = 4t^2 - 24t + 144$。
(2) $\because P$不与$B$重合，$Q$不与$C$重合，
$\therefore \begin{cases} 2t ＜ 12 \\ 4t ＜ 24 \end{cases}$，解得$t ＜ 6$。
又$\because t ＞ 0$，
$\therefore 0 ＜ t ＜ 6$。
(1) $y = 4t^2 - 24t + 144$
(2) $0 ＜ t ＜ 6$

1. 在圆的面积公式$S= \pi R^{2}$中,$S是R$的( ).

A.正比例函数
B.一次函数
C.二次函数
D.反比例函数

答案： C

2. 如图2,在一幅长为50 cm、宽为30 cm的矩形风景画的四周镶上金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整幅挂画的总面积为$y$ $cm^{2}$,金色纸边的宽均为$x$ cm,则$y与x$之间的函数表达式为______.

答案： $y=4x^{2}+160x+1500(x＞0)$ 提示:由题意,得$y=(50+2x)(30+2x)=4x^{2}+160x+1500$$(x＞0)$.

3. 把下列二次函数表达式化成一般形式,并指出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)$y= (x + 1)(x - 1)$；
(2)$y = 4x^{2}-12x(1 + x)$.

答案： 解:
(1)$y=(x+1)(x-1)=x^{2}-1$,即一般形式为$y=x^{2}-1$,二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为-1.
(2)$y=4x^{2}-12x(1+x)=4x^{2}-12x-12x^{2}=-8x^{2}-12x$,即一般形式为$y=-8x^{2}-12x$,二次项系数为-8,一次项系数为-12,常数项为0.