《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 如图 6,一艘军舰在南海海域巡航,在$A$处时,某岛上的灯塔$P位于A处的南偏西30^{\circ}$方向上,距离为$20$n mile。军舰沿南偏东$15^{\circ}方向航行一段时间后到达B$处,此时,灯塔$P位于B$处的西北方向上。

(1)分别求出$\angle PAB和\angle PBA$的度数。
(2)求$B处与灯塔P$的距离。(结果精确到$0.1$n mile；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)
思路点拨 (1)根据角的和差即可得到结论。
(2)由(1)可知,$PB所在的\triangle PAB$不是直角三角形,无法直接求出$PB$的长,根据$\angle PAB与\angle PBA$是特殊角,可考虑过点$P作PC\perp AB于点C$,得到$Rt\triangle APC和Rt\triangle PCB$,解直角三角形即可。
解 (1)$\angle PAB = 30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}$,
$\angle PBA = 45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}$。
(2)如图 6,过点$P作PC\perp AB于点C$。
在$Rt\triangle APC$中,
$\because \angle PAC = 45^{\circ}$,$AP = 20$n mile,
$\therefore PC = AP\cdot\sin\angle PAC = 10\sqrt{2}$(n mile)。
在$Rt\triangle PCB$中,$\angle PBC = 30^{\circ}$,
$\therefore PB = 2PC = 20\sqrt{2}\approx28.3$(n mile)。
答：$B处与灯塔P的距离约是28.3$n mile。

答案：
(1)
$\angle PAB = 30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}$，
$\angle PBA =45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}$。
(2)
过点$P$作$PC\perp AB$于点$C$。
在$Rt\triangle APC$中，
因为$\angle PAC = 45^{\circ}$，$AP = 20$ n mile，
所以$PC = AP\cdot\sin\angle PAC=20×\sin45^{\circ}=20×\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}$ (n mile)。
在$Rt\triangle PCB$中，$\angle PBC = 30^{\circ}$，
所以$PB = 2PC = 20\sqrt{2}\approx20×1.414 = 28.28\approx28.3$ (n mile)。
答：$B$处与灯塔$P$的距离约是$28.3$ n mile。

1. 修建抽水站时,沿着坡度为$i = 1:5$的斜坡铺设管道,坡角记为$\alpha$,下列等式成立的是( )。

A.$\sin\alpha=\frac{1}{5}$
B.$\cos\alpha=\frac{1}{5}$
C.$\tan\alpha=\frac{1}{5}$
D.以上都不对

答案： C