《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 如图 3,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,D 是 AC 上一点,$DE⊥AB$于点 E.若$AC= 8$,$BC= 6$,$DE= 3$,则 AE 的长为( ).

A.3


B.4
C.5
D.6

答案： B

2. 如图 4,$∠C= ∠E= 90^{\circ}$,$AC= 3$,$BC= 4$,$AE= 2$,则 AD 的长为____.

答案： $\frac{10}{3}$

3. 如图 5,E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点,$BF⊥AE$于点 F.求证：$△ABF\backsim△EAD$.

答案： 证明:
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AB//CD,$\angle D=90^{\circ}$.
∴ $\angle BAF=\angle AED$.
∵ BF⊥AE,
∴ $\angle AFB=90^{\circ}$.
∴ $\angle AFB=\angle D$.
∴ $\triangle ABF \backsim \triangle EAD$.

1. 如图 6,在$△ABC$中,点 D 在边 AB 上,$∠ADC= ∠ACB$,$AD= 2$,$BD= 6$,则 AC 的长为( ).

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： B

2. (2023 山东东营中考改编)如图 7,$△ABC$为等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AB 上,$∠ADE= 60^{\circ}$.若$AC= \frac{5}{4}BD$,$DE= 2.4$,则 AD 的长为( ).

A.1.8


B.2.4
C.3
D.3.2

答案： C 提示:因为△ABC是等边三角形,所以$BC=AC$,$\angle B=\angle C=60^{\circ}$.所以$\angle CAD+\angle ADC=120^{\circ}$.因为$\angle ADE=60^{\circ}$.所以$\angle BDE+\angle ADC=120^{\circ}$.所以$\angle CAD=\angle BDE$.所以$\triangle ADC \backsim \triangle DEB$.所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{DB}$.所以$\frac{AD}{2.4}=\frac{5}{4}$.所以$AD=3$.

3. 如图 8,已知$AB⊥BD$,$ED⊥CD$,C 是线段 BD 的中点,且$AC⊥CE$,$ED= 1$,$BD= 4$,则 AB 的长为____.

答案： 4

4. 如图 9,点 B,D,C,F 在同一直线上,且$AB// EF$,$AC// DE$.求证：$△ABC\backsim△EFD$.

答案： 证明:
∵ AB//EF,AC//DE,
∴ $\angle B=\angle F$,$\angle ACB=\angle EDF$.
∴ $\triangle ABC \backsim \triangle EFD$.