《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 如图 17,在 $ \triangle ABC $中, $ AB = AC $, $ P $, $ D $分别是边 $ BC $, $ AC $上的点,且 $ \angle APD = \angle B $。
(1) 求证： $ AC \cdot CD = CP \cdot BP $。
(2) 已知 $ AB = 10 $, $ BC = 12 $,当 $ PD // AB $时,求 $ BP $的长。

答案： （1）证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠APD = ∠B，
∴ ∠APD = ∠B = ∠C. 又
∵ ∠APC = ∠BAP + ∠B = ∠CPD + ∠APD，
∴ ∠BAP = ∠CPD.
∴ △ABP∽△PCD.
∴ $\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{PC}$.
∴ $AB\cdot CD = CP\cdot BP$.
∵ AB = AC，
∴ $AC\cdot CD = CP\cdot BP$.
（2）解：
∵ PD//AB，
∴ ∠APD = ∠BAP. 又∠APD = ∠B = ∠C，
∴ ∠BAP = ∠C. 又∠B = ∠B，
∴ △BAP∽△BCA.
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BP}{AB}$，即$\frac{10}{12}=\frac{BP}{10}$.
∴ $BP=\frac{25}{3}$.

5. 综合与探究
研究学习“一线三等角”模型,解决下列问题。
【模型呈现】如图 18, $ \angle BAD = 90^{\circ} $,过点 $ B $作 $ BC \perp AC $于点 $ C $,过点 $ D $作 $ DE \perp AC $于点 $ E $。则 $ \triangle ABC \sim \triangle DAE $。

【模型应用】(1) 如图 19, $ EP \perp AP $, $ DH \perp CH $,点 $ P $, $ A $, $ C $, $ H $在同一条直线上, $ AE \perp AB $, $ BC \perp CD $, $ AE = 4 $, $ AB = 2 $, $ BC = 3 $, $ CD = 9 $, $ \triangle AEP $的面积为 $ a $, $ \triangle DCH $的面积为 $ b $。求 $ \triangle ABC $的面积。(用含 $ a $, $ b $的代数式表示)
【深入探究】(2) 如图 20,在 $ □ ABCD $中, $ E $为边 $ BC $上一点, $ F $为边 $ AB $上一点。 $ \angle DEF = \angle B $, $ AB = 10 $, $ BE = 4 $。求 $ \frac{EF}{DE} $的值。

答案：
（1）解：如图 12，作 BG⊥AC 于点 G.
∵ EP⊥AP，DH⊥CH，AE⊥AB，BC⊥CD，
∴ ∠EPA = ∠EAB = ∠BCD = ∠CHD = 90°. 根据“一线三直角”模型，可得△AEP∽△BAG，△CBG∽△DCH.
∵ AE = 4，AB = 2，BC = 3，CD = 9，$S_{\triangle AEP}=a$，$S_{\triangle DCH}=b$，
∴ $\frac{a}{S_{\triangle BAG}}=(\frac{AE}{AB})^{2}=4$，$\frac{b}{S_{\triangle CBG}}=(\frac{CD}{BC})^{2}=9$.
∴ $S_{\triangle BAG}=\frac{a}{4}$，$S_{\triangle CBG}=\frac{b}{9}$.
∴ $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BAG}+S_{\triangle CBG}=\frac{a}{4}+\frac{b}{9}$.

（2）解：如图 13，过点 D 作 DM = DC 交 BC 的延长线于点 M.
∴ ∠DCM = ∠M.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DM = CD = AB = 10，AB//CD.
∴ ∠B = ∠DCM = ∠M.
∵ ∠FEC = ∠DEF + ∠MED = ∠B + ∠BFE，∠B = ∠DEF，
∴ ∠BFE = ∠MED.
∴ △BFE∽△MED.
∴ $\frac{EF}{DE}=\frac{BE}{DM}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.