《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 如图 14,水库大坝的横截面是梯形$ABCD$,迎水坡$BC的坡角为30^{\circ}$,背水坡$AD的坡度为1:1.2$,坝顶宽$DC为2.5$m,坝高$CF为4.5$m。
(1)求坝底$AB$的长(结果精确到$0.01$m,参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$)。
(2)求迎水坡$BC$的长。
(3)求迎水坡$BC$的坡度。

答案： 解:
(1)过点D作$DE\perp AB$于点E,易得四边形DEFC为矩形,$\therefore EF=DC=2.5$m,$DE=CF=4.5$m.$\because$背水坡AD的坡度为$1:1.2$,$\therefore AE=1.2DE=5.4$(m).在$Rt\triangle FBC$中,$\angle B=30^{\circ}$,则$BF=\frac{CF}{\tan30^{\circ}}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$(m).$\therefore AB=AE + EF + FB=5.4 + 2.5+\frac{9\sqrt{3}}{2}\approx15.55$(m).答:坝底AB的长约为$15.55$m.　
(2)在$Rt\triangle FBC$中,$\angle B=30^{\circ}$,则$BC=2CF=2×4.5=9$(m).答:迎水坡BC的长为$9$m.　
(3)迎水坡BC的坡度$i=\tan B=\tan30^{\circ}=1:\sqrt{3}$

6. 某市有一座人行天桥(如图 15),天桥高为$6$m,坡面$BC的坡度为1:1$,文化墙$PM在天桥底部正前方8$m 处($PB = 8$m)。为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为$1:\sqrt{3}$。根据相关规定,文化墙距天桥底部小于$3$m 时应拆除。则天桥改造后,该文化墙$PM$是否需要拆除？请说明理由。(结果精确到$0.1$m；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)

答案： 解:该文化墙PM不需要拆除.理由:过点C作$CD\perp AB$交AB的延长线于点D.$\because$坡面BC的坡度为$1:1$,$CD=6$m,$\therefore BD=CD=6$m.$\because$坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$,$\therefore AD=\sqrt{3}CD=6\sqrt{3}$m.$\therefore PA=PB - AB=PB-(AD - BD)=8-(6\sqrt{3}-6)=14 - 6\sqrt{3}\approx3.6$(m).$\because 3.6＞3$,$\therefore$该文化墙PM不需要拆除.

7. (2022 安徽中考)如图 16,为了测量河对岸$A$,$B$两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点$C$,测得$A$,$B两点均在点C的北偏东37^{\circ}$方向上。沿正东方向行走$90$m 至观测点$D$,测得点$A在点D$的正北方向,点$B在点D的北偏西53^{\circ}$方向上。求$A$,$B$两点的距离。(结果精确到$1$m；参考数据：$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$)

答案： 解:$\because CE// AD$,$\therefore \angle A=\angle ECA=37^{\circ}$.$\therefore \angle CBD=\angle A+\angle ADB=37^{\circ}+53^{\circ}=90^{\circ}$.$\therefore \angle ABD=90^{\circ}$.在$Rt\triangle BCD$中,$\angle BDC=90^{\circ}-53^{\circ}=37^{\circ}$,$CD=90$m,$\cos\angle BDC=\frac{BD}{CD}$,$\therefore BD=CD\cdot\cos37^{\circ}\approx90×0.80=72$(m).在$Rt\triangle ABD$中,$\angle A=37^{\circ}$,$BD=72$m,$\tan A=\frac{BD}{AB}$,$\therefore AB=\frac{BD}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{72}{0.75}=96$(m).答:A,B两点的距离约为$96$m.