《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 用配方法解下列方程：
(1)(2024江苏徐州中考)$x^{2}+2x-1= 0$；
(2)$x(x+7)+1= 4x$；
(3)$4x^{2}-8x= 1$；
(4)$2x^{2}-8x+9= 0$.

答案： 解:
(1)配方,得x²+2x+1²-1²-1=0.因此(x+1)²=2.由此得x+1=√2或x+1=-√2.解得x₁=√2-1,x₂=-√2-1.
(2)原方程可化为x²+3x+1=0.配方,得x²+3x+(3/2)²-(3/2)²+1=0.因此(x+3/2)²=5/4.由此得x+3/2=√5/2或x+3/2=-√5/2.解得x₁=(-3+√5)/2,x₂=(-3-√5)/2.
(3)将二次项系数化为1,得x²-2x=1/4.配方,得x²-2x+1²=1/4+1².因此(x-1)²=5/4.由此得x-1=√5/2或x-1=-√5/2.解得x₁=1+√5/2,x₂=1-√5/2.
(4)将二次项系数化为1,得x²-4x+9/2=0.配方,得x²-4x+2²-2²+9/2=0.因此(x-2)²=-1/2.因为-1/2＜0,负数没有平方根,所以原方程无实数根.

6. 小华设计了一个魔术盒,将任意实数对$(a,b)$放入其中,会得到一个新的实数$a^{2}-2b-3$.若将实数对$(2x,-x)$放入其中可得到实数-1,则$x$的值为______.

答案： 1/2或-1 提示:由题意可得4x²+2x-3=-1.将二次项系数化为1,再配方,得(x+1/4)²=9/16.解得x₁=1/2,x₂=-1.

方法运用
(1)仿照上述方法,求代数式$x^{2}-6x+12$的最小值.
(2)$-x^{2}+8x-1$有最大值还是最小值？这个最值是多少？

答案： 解:
(1)x²-6x+12=(x²-6x+9)+3=(x-3)²+3.因为(x-3)²≥0,所以(x-3)²+3≥3.因此当x=3时,x²-6x+12有最小值,最小值是3.
(2)-x²+8x-1=-(x²-8x+16)+15=-(x-4)²+15.因为(x-4)²≥0,所以-(x-4)²≤0.由此得-(x-4)²+15≤15.因此当x=4时,-x²+8x-1有最大值,最大值是15.