《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. (教材第 60 页习题第 4 题变式) 如图 20,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D 两点. 若 $CD = 10$,$AB = 18$,小圆半径为 13,则大圆半径 OA 的长为______.

答案： 15 提示:过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,连接 OC.则$OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$.故$OA=\sqrt{OH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$.

7. 如图 21,有一座圆弧形拱桥,它的跨度 $AB = 60$ m,拱高 $PD = 18$ m.
(1)求圆弧所在的⊙O 的半径.
(2)已知当洪水泛滥到跨度小于等于 30 m 时,需要采取紧急措施. 如图 21,当洪水泛滥到跨度为 $A'B'$ 时,拱顶离水面只有 4 m,即 $PE = 4$ m,此时是否需要采取紧急措施？

答案： 解:
(1)连接 OA,设$\odot O$的半径为 rm.由题意,得 PO⊥AB.
∵ AB=60m,PD=18m,
∴ AD=$\frac{1}{2}$AB=30m,OD=OP - PD=(r - 18)m.在$Rt△ADO$中,由勾股定理,得$r^{2}=30^{2}+(r - 18)^{2}$.解得 r=34.故圆弧所在的$\odot O$的半径为 34m.
(2)连接 OA',在$Rt△OA'E$中,OA'=34m,OE=OP - PE=34 - 4=30(m),由勾股定理,得$A'E=\sqrt{OA'^{2}-OE^{2}}=\sqrt{34^{2}-30^{2}}=16(m)$.
∴ A'B'=2A'E=32m.
∵ 32m＞30m,
∴ 不需要采取紧急措施.

8. 如图 22,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 $CD\perp AB$ 于点 E,点 P 在⊙O 上,$\angle 1= \angle C$.
(1)求证：$CB// PD$.
(2)当 $BC = 3$,$\sin P= \frac{3}{5}$ 时,求⊙O 的直径.
小锦囊 第(2)题已知 BC 和 $\sin P$,可将这些条件转化到直径 AB 所在的直角三角形中求解,故连接 AC.

答案：
(1)证明:
∵ ∠C 和∠P 都是$\widehat{BD}$所对的圆周角,
∴ ∠C=∠P.又
∵ ∠1=∠C,
∴ ∠1=∠P.
∴ CB//PD.
(2)解:连接 AC.
∵ AB 是$\odot O$的直径,
∴ ∠ACB=90°.又
∵ CD⊥AB,
∴ $\widehat{CB}=\widehat{BD}$.
∴ ∠A=∠P.
∴ sinA=sinP=$\frac{3}{5}$.在$Rt△ABC$中,$sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$.
∵ BC=3,
∴ AB=5.故$\odot O$的直径为 5.

9. 如图 23,AB 是⊙O 的直径,弦 $CD\perp AB$ 于点 E,过点 C 作直线 DB 的垂线 CF,交 AB 的延长线于点 G,垂足为点 F,连接 AC.
(1)求证：$AC = CG$.
(2)当 $CD = EG = 8$ 时,求⊙O 的半径.

答案：
(1)证明:
∵ DF⊥CG,CD⊥AB,
∴ ∠DEB=∠BFG=90°.又∠DBE=∠GBF,
∴ ∠D=∠G.
∵ 圆周角∠A 和圆周角∠D 所对的弧为$\widehat{BC}$,
∴ ∠A=∠D.
∴ ∠A=∠G.
∴ AC=CG.
(2)解:连接 OC,设$\odot O$的半径为 r.
∵ AC=CG,CD⊥AB,
∴ AE=EG=8,EC=$\frac{1}{2}$CD=4.
∴ OE=AE - OA=8 - r.在$Rt△OEC$中,由勾股定理,得$OC^{2}=OE^{2}+EC^{2}$,即$r^{2}=(8 - r)^{2}+4^{2}$.解得 r=5.
∴ $\odot O$的半径为 5.