《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 解下列方程：
(1) $3x^{2}-9 = 0$；
(2) $100(1 - x)^{2}= 64$。

答案：
(1)原方程可化为$x^{2}=3$.根据平方根的意义,得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$.因此,原方程的根为$x_{1}=\sqrt{3}$,$x_{2}=-\sqrt{3}$.
(2)原方程可化为$(1-x)^{2}=\frac{64}{100}$.根据平方根的意义,得$1-x=\sqrt{\frac{64}{100}}$或$1-x=-\sqrt{\frac{64}{100}}$.因此,原方程的根为$x_{1}=\frac{1}{5}$,$x_{2}=\frac{9}{5}$.

1. 方程 $4x^{2}-9 = 0$ 的根是( )。

A.$x= \frac{3}{2}$
B.$x_{1}= \frac{3}{2},x_{2}= -\frac{3}{2}$
C.$x= \frac{2}{3}$
D.$x_{1}= \frac{2}{3},x_{2}= -\frac{2}{3}$

答案： B

2. 已知 $0$ 和 $-1$ 是同一个方程的根,则这个方程是( )。

A.$x^{2}-1 = 0$
B.$x^{2}+x = 0$
C.$x^{2}-x = 0$
D.$x^{2}= x + 1$

答案： B

3. 一元二次方程 $(x - 2)^{2}-9 = 0$ 的根是____。

答案： $x_{1}=5$,$x_{2}=-1$

4. (2024 广东深圳中考) 一元二次方程 $x^{2}-3x + a = 0$ 的一个解为 $x = 1$,则 $a$ 的值是____。

答案： 2

5. 解下列方程：
(1) $16(1 + x)^{2}= 49$；
(2) $\frac{1}{3}(x - 1)^{2}-12 = 0$。

答案：
(1)原方程可化为$(1+x)^{2}=\frac{49}{16}$.根据平方根的意义,得$1+x=\sqrt{\frac{49}{16}}$或$1+x=-\sqrt{\frac{49}{16}}$.因此,原方程的根为$x_{1}=\frac{3}{4}$,$x_{2}=-\frac{11}{4}$.
(2)原方程可化为$(x-1)^{2}=36$.根据平方根的意义,得$x-1=\sqrt{36}$或$x-1=-\sqrt{36}$.因此,原方程的根为$x_{1}=7$,$x_{2}=-5$.

6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}= b(ab\gt 0)$ 的两个根分别是 $m - 1$ 和 $2m + 4$,则此方程的根为____。

答案： $x_{1}=2$,$x_{2}=-2$ 提示:由平方根的意义可知$m - 1$与$2m + 4$互为相反数,所以$m - 1 + 2m + 4 = 0$,即$m=-1$.故$m - 1=-2$,$2m + 4=2$.

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-3x + c = 0$ 的一个根是 $1$,求关于 $y$ 的方程 $\frac{1}{4}y^{2}-c = 0$ 的根。
小锦囊 根据一元二次方程的根的意义,把 $x = 1$ 代入已知方程,可求出 $c$ 的值。

答案： 解:把$x = 1$代入方程$2x^{2}-3x + c = 0$,得$2 - 3 + c = 0$.解得$c=1$.所以关于$y$的方程为$\frac{1}{4}y^{2}-1 = 0$.原方程可化为$y^{2}=4$.根据平方根的意义,得原方程的根为$y_{1}=2$,$y_{2}=-2$.

8. 化简求值：$\frac{x - 3}{3x^{2}-6x}÷(x + 2-\frac{5}{x - 2})$,已知 $x$ 是一元二次方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的一个实数根。

答案： 解:$\frac{x - 3}{3x^{2}-6x}÷ \left(x + 2 - \frac{5}{x - 2}\right)=\frac{x - 3}{3x(x - 2)}÷ \frac{x^{2}-4 - 5}{x - 2}=\frac{x - 3}{3x(x - 2)}\cdot \frac{x - 2}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{1}{3x^{2}+9x}$.因为$x$是一元二次方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的一个实数根,所以$x^{2}+3x = 1$.因此$3x^{2}+9x = 3(x^{2}+3x)=3$.故原式$=\frac{1}{3}$.