《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 1 若 $\frac{b}{a}= \frac{1}{3}$,则 $\frac{a - b}{a + b}= $______。
思路点拨 可根据比例的性质,将已知比例式化为等积式,得 $a = 3b$,再代入求值。也可用参数法、等式的性质、特殊值法等方法求解。
解 方法一(代入法)：
$\because \frac{b}{a}= \frac{1}{3}$,$\therefore a = 3b$。
$\therefore \frac{a - b}{a + b}= \frac{3b - b}{3b + b}= \frac{2b}{4b}= \frac{1}{2}$。
方法二(参数法)：
由 $\frac{b}{a}= \frac{1}{3}$,设 $b = k$,$a = 3k$,$k\neq 0$。
把 $b = k$,$a = 3k$ 代入 $\frac{a - b}{a + b}$,得
$\frac{a - b}{a + b}= \frac{3k - k}{3k + k}= \frac{2k}{4k}= \frac{1}{2}$。
方法三(等式的性质法)：
$\because \frac{b}{a}= \frac{1}{3}$,
$\therefore 1-\frac{b}{a}= 1-\frac{1}{3}= \frac{2}{3}$,即 $\frac{a - b}{a}= \frac{2}{3}$；
$1+\frac{b}{a}= 1+\frac{1}{3}= \frac{4}{3}$,即 $\frac{a + b}{a}= \frac{4}{3}$。
$\therefore \frac{a - b}{a + b}= \frac{\frac{a - b}{a}}{\frac{a + b}{a}}= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}= \frac{1}{2}$。
方法四(特殊值法)：
由 $\frac{b}{a}= \frac{1}{3}$,取 $b = 1$,$a = 3$。
则 $\frac{a - b}{a + b}= \frac{3 - 1}{3 + 1}= \frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

例 2 下列各组不同长度的线段,为成比例线段的是( )。

A.$3\ cm$,$6\ cm$,$7\ cm$,$9\ cm$
B.$2\ cm$,$5\ cm$,$0.6\ dm$,$8\ cm$
C.$3\ cm$,$9\ cm$,$1.8\ dm$,$6\ cm$
D.$1\ cm$,$2\ cm$,$3\ cm$,$4\ cm$
思路点拨 先统一长度单位,按从小到大排列后,再根据“前两条线段的比是否等于后两条线段的比”进行判断。
解 选项 A：$\frac{3}{6}\neq\frac{7}{9}$,不是成比例线段。
选项 B：$0.6\ dm = 6\ cm$,$\frac{2}{5}\neq\frac{6}{8}$,不是成比例线段。
选项 C：$1.8\ dm = 18\ cm$,从小到大排列为 $3\ cm$,$6\ cm$,$9\ cm$,$18\ cm$,因为 $\frac{3}{6}= \frac{9}{18}$,所以是成比例线段。
选项 D：$\frac{1}{2}\neq\frac{3}{4}$,不是成比例线段。
答案 C

答案： C