《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. (2022 辽宁中考)下列一元二次方程,没有实数根的是( ).

A.$ x^{2}+x - 2 = 0 $
B.$ x^{2}-2x = 0 $
C.$ x^{2}+x + 5 = 0 $
D.$ x^{2}-2x + 1 = 0 $

答案： C

2. (2024 湖南中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + 2k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k $ 的值为 ______.

答案： 2

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}-3x + 1 = 0 $ 有两个实数根,那么 $ k $ 的取值范围是 ______.

答案： $k\leqslant\frac{9}{4}$且$k\neq 0$

4. 不解方程,判断下列方程根的情况：
(1) $ 3x^{2}-2x - 1 = 0 $；
(2) $ 2x^{2}-x + 1 = 0 $；
(3) $ 5x^{2}+4 = 4\sqrt{5}x $.

答案： 解:
(1)因为$\Delta=(-2)^{2}-4× 3×(-1)=16＞0$,所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)因为$\Delta=(-1)^{2}-4× 2× 1=-7＜0$,所以原方程没有实数根.
(3)将原方程化为一般形式,得$5x^{2}-4\sqrt{5}x+4=0$.因为$\Delta=(-4\sqrt{5})^{2}-4× 5× 4=0$,所以原方程有两个相等的实数根.

5. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3kx - 2 = 0 $ 的根的情况是 ______.

答案： 有两个不相等的实数根 提示:$\Delta=9k^{2}+8＞0$.

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(k - 1)x + k - 2 = 0 $.
(1) 求证：该方程总有两个实数根.
(2) 若方程的一个根为正数,则实数 $ k $ 的取值范围是 ______.

答案：
(1)证明:因为$\Delta=(k-1)^{2}-4(k-2)=(k-3)^{2}\geqslant 0$,所以该方程总有两个实数根.
(2)$k＜2$ 提示:用公式法解方程,得$x_{1}=-1$,$x_{2}=2-k$.因为方程的一个根为正数,所以$2-k＞0$,即$k＜2$.

7. 综合与实践

【问题情境】 如右图,四边形 $ ACDE $ 是可以证明勾股定理的一个图形,$ a $,$ b $,$ c $ 是全等的 $ Rt\triangle ABC $ 和 $ Rt\triangle BED $ 的边长,此时 $ AE = \sqrt{2}c $. 我们把形如 $ ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0 $ 的一元二次方程称为关于 $ x $ 的“勾系一元二次方程”.
【数学思考】
(1) 求证：关于 $ x $ 的“勾系一元二次方程” $ ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0 $ 必有实数根.
【问题解决】
(2) 已知 $ x = -1 $ 是“勾系一元二次方程” $ ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0 $ 的一个根,且四边形 $ ACDE $ 的周长是 $ 12 $,求 $ c $ 的值.

答案：
(1)证明:$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$.因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,所以$2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geqslant 0$.因此关于$x$的"勾系一元二次方程"$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根.
(2)解:当$x=-1$时,有$a-\sqrt{2}c+b=0$,即$a+b=\sqrt{2}c$.因为四边形$ACDE$的周长是12,所以$2a+2b+\sqrt{2}c=12$,即$2(a+b)+\sqrt{2}c=2\sqrt{2}c+\sqrt{2}c=12$.故$c=2\sqrt{2}$.