《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

3. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式,以能握在手中顺序展开阅览得名,它主要由“引首”“画心”“拖尾”三个部分组成(这三个部分都是矩形形状),分隔这三个部分的其余部分统称为“隔水”(宽度均相同)。如图 11,某手卷长 1000 cm,宽 40 cm,引首和拖尾完全相同,其宽度都为 100 cm,画心的面积为$ 15200 cm^2。$求隔水的宽度。

答案： 解:设隔水的宽度为x cm.根据题意,得$(1000-4x-200)(40-2x)=15200$.解得$x_{1}=210$(不合题意,舍去),$x_{2}=10$.答:隔水的宽度为10 cm.

4. 如图 12,在△ABC 中,AB = 6 cm,BC = 7 cm,∠ABC = 30°。动点 P 从点 A 出发以 1 cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 移动,动点 Q 从点 B 出发以 2 cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 移动,当点 Q 移动到点 C 时,两点停止移动。若 P,Q 两点同时出发,则 _________ s 后△PBQ 的面积等于$ 4 cm^2。$

答案： 2 提示:过点Q作$QE\perp PB$于点E.则$QE=\frac{1}{2}QB$.设经过t s后$\triangle PBQ$的面积等于$4\ cm^{2}$,则$PB=(6-t)\ cm$,$QB=2t\ cm$,$QE=t\ cm$.根据题意,得$\frac{1}{2}(6-t)\cdot t=4$.解得$t_{1}=2$,$t_{2}=4$(不合题意,舍去).故$t=2$.

5. 如图 13,用一段 77 m 长的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈,每个矩形都有一个 1 m 宽的门(留门部分不需要篱笆),墙的最大可用长度为 30 m。
(1)当羊圈总面积为$ 300 m^2$时,求 AB 的长。
(2)羊圈的总面积能为$ 500 m^2$吗？请通过计算说明理由。

答案： 解:
(1)设AB的长为x m.根据题意,得$x(77+3-4x)=300$.解得$x_{1}=5$,$x_{2}=15$.当$x=5$时,$77+3-4x=60＞30$.故$x=5$不合题意,舍去.当$x=15$时,$77+3-4x=20＜30$,故$x=15$符合题意.所以AB的长是15 m.
(2)羊圈的总面积不能为$500\ m^{2}$.理由:设AB的长为y m.根据题意,得$y(77+3-4y)=500$,整理,得$y^{2}-20y+125=0$.因为$\Delta=(-20)^{2}-4×1×125=-100＜0$,所以原方程没有实数根.故羊圈的总面积不能为$500\ m^{2}$.

6. 如图 14,在矩形 ABCD 中,AB = 16 cm,AD = 6 cm,点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,点 P 沿 AB 边以 3 cm/s 的速度向点 B 运动,点 Q 沿 CD 边以 2 cm/s 的速度向点 D 运动,点 P 到达点 B 时,两点停止运动。
(1)P,Q 两点出发多少秒时,四边形 PBCQ 的面积为$ 33 cm^2？$
(2)P,Q 两点出发多少秒时,点 P 和点 Q 的距离第一次为 10 cm？

答案： 解:
(1)设P,Q两点出发t s时四边形PBCQ的面积为$33\ cm^{2}$,则$PB=AB-AP=(16-3t)\ cm$,$CQ=2t\ cm$.根据题意,得$\frac{1}{2}\cdot (2t+16-3t)\cdot 6=33$.解得$t=5$.答:P,Q两点出发5 s时四边形PBCQ的面积为$33\ cm^{2}$.
(2)设P,Q两点出发y s时,点P和点Q的距离是10 cm.过点Q作$QM\perp AB$于点M,则$MQ=AD=6\ cm$,$BM=CQ=2y\ cm$,$PM=|16-5y|\ cm$.在$Rt\triangle PMQ$中,由勾股定理,得$PM^{2}+MQ^{2}=PQ^{2}$,即$(16-5y)^{2}+6^{2}=10^{2}$.解得$y_{1}=\frac{8}{5}$,$y_{2}=\frac{24}{5}$.因为所求的是第一次满足条件的时间,所以$y=\frac{8}{5}$.答:P,Q两点出发$\frac{8}{5}$ s时,点P和点Q的距离第一次为10 cm.