《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

16. (14 分)如图 2,在菱形$ABCD$中,$AC与BD交于点O$,$AC = 8cm$,$BD = 6cm$,动点$M从点A出发沿AC边以2cm/s的速度匀速运动到点C$,动点$N从点B出发沿BO边以1cm/s的速度匀速运动到点O$,当其中一点停止运动时,另一点也停止运动。若点$M$,$N$同时出发,则出发几秒时,$\triangle MCN的面积为2cm^{2}$？

答案： 设出发$x\ s$时,$\triangle MCN$的面积为$2\ cm^2$,则$AM=2x\ cm$,$BN=x\ cm$.因为$AC=8\ cm$,$BD=6\ cm$,所以$OB=3\ cm$,$CM=(8-2x)\ cm$,$ON=(3-x)\ cm$,$x＜3$.因为四边形$ABCD$是菱形,所以$AC\perp BD$.根据题意,得$\frac{1}{2}(8-2x)(3-x)=2$.解得$x_1=2$,$x_2=5$(不合题意,舍去).答:出发$2\ s$时,$\triangle MCN$的面积为$2\ cm^2$.

17. (14 分)综合与实践
【问题情境】某商场一种商品的进价为每件$30$元,售价为每件$40$元,每天可以销售$48$件,为尽快减少库存,商场决定降价促销。
【数学思考】(1)已知该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件$32.4$元,求每次降价的百分率。
【问题解决】(2)经调查,该商品每降价$0.5$元,每天可多销售$4$件。
①若商场销售该商品计划每天获得$512$元的利润,则每件应降价多少元？
②商场销售该商品每天能获得$520$元的利润吗？请说明理由。

答案：
(1)设每次降价的百分率为$x$.根据题意,得$40(1-x)^2=32.4$.解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不合题意,舍去).答:每次降价的百分率为$10\%$.
(2)①设每件应降价$t$元.根据题意,得$(40-t-30)\left(48+\frac{4t}{0.5}\right)=512$.整理,得$t^2-4t+4=0$.解得$t_1=t_2=2$.答:每件应降价$2$元. ②每天不能获得$520$元的利润.理由:设每件降价$y$元可获得$520$元的利润.由题意,得$(40-y-30)\left(48+\frac{4y}{0.5}\right)=520$.整理,得$y^2-4y+5=0$.因为$\Delta=(-4)^2-4×5=-4＜0$,所以该方程无实数根.因此商场销售该商品每天不能获得$520$元的利润.

18. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+mx + 2m - 4 = 0$。
(1) 求证：此方程有实数根。
(2) 设方程的两个实数根$x_{1}$,$x_{2}满足\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 3$,求$m$的值。

答案：
(1)证明:因为$\Delta=m^2-4(2m-4)=m^2-8m+16=(m-4)^2\geq0$,所以此方程有实数根.
(2)解:由根与系数的关系,得$x_1+x_2=-m$,$x_1x_2=2m-4$.所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-m}{2m-4}=3$.解得$m=\frac{12}{7}$.经检验,$m=\frac{12}{7}$是方程$\frac{-m}{2m-4}=3$的解且符合题意.所以$m$的值为$\frac{12}{7}$.