《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 将抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 上下平移,可得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $。
(1)当 $ k ＞ 0 $ 时,向上平移 $ k $ 个单位；
(2)当 $ k ＜ 0 $ 时,向______平移 $ |k| $ 个单位。

答案： 下

2. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象：
(1)图象是抛物线。
(2)当 $ a ＞ 0 $ 时,开口______；当 $ a ＜ 0 $ 时,开口______。
(3)对称轴：直线 $ x = $______。
(4)顶点坐标：______。

答案：
(2)向上 向下
(3)h
(4)(h,k)

3. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的性质：
(1)当 $ a ＞ 0 $ 时,图象在对称轴左边的部分,函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 取值的增大而______；图象在对称轴右边的部分,函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 取值的增大而______；当 $ x = h $ 时,函数有最______值,其值为______。
(2)当 $ a ＜ 0 $ 时,图象在对称轴左边的部分,函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 取值的增大而______；图象在对称轴右边的部分,函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 取值的增大而______；当 $ x = h $ 时,函数有最______值,其值为______。

答案：
(1)减小 增大 小 k
(2)增大 减小 大 k

1. 二次函数 $ y = (x + 2)^2 - 1 $ 的图象大致为( )。

答案： D

2. 关于抛物线 $ y = -3(x - 1)^2 + 5 $,下列说法正确的是( )。

A.开口向上
B.顶点坐标为 $ (-1, 5) $
C.当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.将抛物线向上平移 $ 2 $ 个单位后经过原点

答案： C 提示:抛物线$y=-3(x-1)^2+5$的顶点坐标为(1,5),a=-3＜0,抛物线开口向下.故选项A,B错误.当x≥1时,y随x的增大而减小,故选项C正确.将该抛物线向上平移2个单位,可得$y=-3(x-1)^2+5+2=-3(x-1)^2+7.$当x=0时,y=4,不经过原点,故选项D错误.

3. 在平面直角坐标系中,将二次函数 $ y = x^2 $ 的图象向左平移 $ 2 $ 个单位,再向上平移 $ 1 $ 个单位,所得抛物线所表示的函数表达式为______。

答案： $y=(x+2)^2+1$

例 (教材第 15 页例 5 变式)已知二次函数图象的顶点坐标为 $ (1, -4) $,且与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, -3) $。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)画出(1)中二次函数的图象,并回答问题。
① 它可由抛物线 $ y = x^2 $ 经过怎样的变换得到？
② $ P(x_1, y_1) $,$ Q(x_2, y_2) $ 是抛物线上的两点,且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $,比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小。
思路点拨 (1)已知二次函数图象的顶点坐标,可设二次函数的表达式为顶点式,再根据已知条件求出未知系数,即得二次函数的表达式。
(2)根据画二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 图象的步骤画出函数图象,并根据图象判断其性质。
解 (1)由于点 $ (1, -4) $ 是二次函数图象的顶点,可设这个二次函数的表达式为 $ y = a(x - 1)^2 - 4 $。
由函数的图象经过点 $ (0, -3) $,可得 $ a(0 - 1)^2 - 4 = -3 $。解得 $ a = 1 $。
因此,这个二次函数的表达式为 $ y = (x - 1)^2 - 4 $。
(2)对称轴是直线 $ x = 1 $,顶点坐标为 $ (1, -4) $。
列表：自变量 $ x $ 从顶点横坐标 $ 1 $ 开始取值。
| $ x $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | …$ $ |
| $ y = (x - 1)^2 - 4 $ | $ -4 $ | $ -3 $ | $ 0 $ | $ 5 $ | …$ $ |
描点和连线：先画出图象在对称轴右边的部分,再利用对称性,画出图象在对称轴左边的部分,如图 1。

① 由图象可知,抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 可由抛物线 $ y = x^2 $ 向右平移 $ 1 $ 个单位,再向下平移 $ 4 $ 个单位得到。
② 由图象可知,当 $ x ＜ 1 $ 时,函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 的增大而减小。
因为 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $,所以 $ y_1 ＞ y_2 $。

答案：
(1) 设二次函数的表达式为 $y = a(x - 1)^2 - 4$。
代入点 $(0, -3)$，得 $a(0 - 1)^2 - 4 = -3$，解得 $a = 1$。
因此，二次函数的表达式为 $y = (x - 1)^2 - 4$。
(2)
①对称轴是直线 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, -4)$。
列表：
| $x$ | $\ldots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\ldots$ |
| $y = (x - 1)^2 - 4$ | $\ldots$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $\ldots$ |
描点、连线，画出函数图象。
由图象可知，抛物线 $y = (x - 1)^2 - 4$ 可由抛物线 $y = x^2$ 向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $4$ 个单位得到。
② 由于当 $x ＜ 1$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而减小，且 $x_1 ＜ x_2 ＜ 1$，所以 $y_1 ＞ y_2$。