《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

7. (2022浙江温州中考)综合与探究
根据以下素材,探索完成任务。
|素材一|图13中有一座抛物线形拱桥,图14是其示意图,某一时刻测得水面宽$20m$,拱顶离水面$5m$。据调查,该河段水位在此基础上最多再涨$1.8m$|

|素材二|为迎佳节,拟在图13的桥洞前面的桥拱上悬挂$40cm$长的灯笼,如图15。为了安全,灯笼底部距离水面不小于$1m$；为了美观,在符合条件处都挂上灯笼,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为$1.6m$,且挂满后成轴对称分布|

|任务一|确定桥拱形状：(1)在图14中建立合适的平面直角坐标系,求抛物线对应的函数的表达式|
|任务二|探究悬挂范围：(2)在你所建立的平面直角坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围|
|任务三|拟定设计方案：(3)给出一种符合所有悬挂条件的方案并计算灯笼数量,根据你所建立的平面直角坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标|

答案： 解:
(1)以拱顶为原点，建立图56所示的平面直角坐标系,则顶点坐标为$(0,0)$,且图象过点$B(10,-5)$.设抛物线所对应的函数的表达式为$y=ax^{2}$.把点$B(10,-5)$的坐标代入,得$100a=-5$.解得$a=-\dfrac{1}{20}$.所以抛物线所对应的函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^{2}$.　
(2)因为该河段水位最多再涨$1.8m$，灯笼底部距离水面不小于$1m$，灯笼长$0.4m$,所以悬挂点的纵坐标$\geqslant-5 + 1.8+1 + 0.4=-1.8$,即悬挂点的纵坐标的最小值是$-1.8$.当$y = -1.8$时,有$-\dfrac{1}{20}x^{2}=-1.8$,解得$x_1 = 6$,$x_2 = -6$.因此悬挂点的横坐标的取值范围是$-6\leqslant x\leqslant6$.　
(3)方案一:如图57(坐标轴的横轴),在顶点处悬挂灯笼.因为$-6\leqslant x\leqslant6$,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为$1.6m$,顶点一侧悬挂4盏灯笼时,$1.6×4 = 6.4＞6$;顶点一侧悬挂3盏灯笼时,$1.6×3 = 4.8＜6$.所以顶点一侧最多悬挂3盏灯笼,因为灯笼挂满后成轴对称分布，所以共可挂7盏灯笼.因此最左边一盏灯笼的横坐标为$-1.6×3=-4.8$.方案二:如图58,不在顶点处悬挂灯笼,因为顶点一侧悬挂5盏灯笼时,$0.8 + 1.6×(5 - 1)=7.2＞6$;顶点一侧悬挂4盏灯笼时,$0.8 + 1.6×(4 - 1)=5.6＜6$.所以顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.因为灯笼挂满后成轴对称分布,所以共可挂8盏灯笼.因此最左边一盏灯笼的横坐标为$-0.8-1.6×3=-5.6$.