《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图 7,则方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根是( )。

A.$ x_1 = 3 $,$ x_2 = -3 $

B.$ x_1 = 0 $,$ x_2 = 6 $
C.$ x_1 = -3 $,$ x_2 = 6 $
D.$ x_1 = 3 $,$ x_2 = 0 $

答案： C

2. 二次函数 $ y = 2x^2 - 4x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交点的情况是( )。

A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.以上都不对

答案： A

3. 在图 8 所示的平面直角坐标系中(网格单位长度为 1)画出适当的函数图象,并利用图象求方程 $ -x^2 - x + 2 = 0 $ 的解。
]

答案：
解:方程$-x^{2}-x+2=0$的解是函数$y=-x^{2}-x+2$的图象与x轴交点的横坐标.作出二次函数$y=-x^{2}-x+2$的图象如图48，它与x轴的交点的横坐标分别为-2,1.故方程$-x^{2}-x+2=0$的解是$x_{1}=-2,x_{2}=1$.

1. 如图 9,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象上有两点 $ A(2.2, -0.5) $,$ B(2.6, 0.5) $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个解可能是( )。


A.2.1
B.2.5
C.0
D.2.7

答案： B

2. 抛物线 $ y = -x^2 + 4x - 4 $ 与坐标轴的交点个数为( )。

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C 提示:抛物线与y轴有1个交点，与x轴有1个交点，共2个交点.

3. (2024 宁夏中考)若二次函数 $ y = 2x^2 - x + m $ 的图象与 $ x $ 轴有交点,则 $ m $ 的取值范围是______。

答案： $m\leqslant\frac{1}{8}$

4. 二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的部分图象如图 10,对称轴是直线 $ x = -1 $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^2 + bx + c = 0 $ 的解为______。

答案： $x_{1}=1,x_{2}=-3$

5. 若二次函数 $ y = 2x^2 - 4x - 1 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A(x_1, 0) $,$ B(x_2, 0) $ 两点,则 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $ 的值为______。

答案： -4 提示:由题意，得一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的根为$x_{1},x_{2}$.所以$x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$.因此$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-4$.

6. (教材第 26 页例 2 变式)掷实心球是某市中考体育考试项目之一。一名女生掷实心球时,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的函数图象如图 11,掷出时起点处高度为 $ \frac{5}{3}m $,当水平距离为 $ 3m $ 时,实心球行进至最高点,距地面 $ 3m $ 处。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
(2)根据某市中考体育考试评分标准(女生),掷实心球时,实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于 $ 7.5m $,此项目考试得分为满分 10 分。这名女生在此项目考试中是否得了满分？请说明理由。
]

答案： 解:
(1)根据题意，可设y与x之间的函数表达式为$y=a(x-3)^{2}+3$.把$(0,\frac{5}{3})$代入，得$a(0-3)^{2}+3=\frac{5}{3}$.解得$a=-\frac{4}{27}$.所以$y=-\frac{4}{27}(x-3)^{2}+3=-\frac{4}{27}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{5}{3}$.
(2)这名女生在此项目考试中得了满分.理由:在$y=-\frac{4}{27}(x-3)^{2}+3$中，令$y=0$，得$-\frac{4}{27}(x-3)^{2}+3=0$.解得$x_{1}=7.5,x_{2}=-1.5$(舍去).因为$7.5=7.5$，所以这名女生在此项目考试中得了满分.