《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 如图 17,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ AB $ 上一点,且 $ \frac{AD}{DB} = \frac{3}{2} $,$ E $,$ F $ 是 $ AC $ 上的点,且 $ DE // BC $,$ DF // BE $,$ AF = 9 $。求 $ EC $ 的长。

答案： 解:
∵ DF//BE,
∴ $\frac{AF}{FE}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$.又 AF=9,
∴ $\frac{9}{FE}=\frac{3}{2}$.解得 FE=6.
∴ AE=AF+FE=15.
∵ DE//BC,
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$,即$\frac{15}{EC}=\frac{3}{2}$.
∴ EC=10.

7. 如图 18,$ E $ 为 $ □ ABCD $ 的边 $ CD $ 的延长线上的一点,连接 $ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ O $,交 $ AD $ 于点 $ F $。求证：$ OB^{2} = OF \cdot OE $。

答案： 证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD,AD//BC.
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$,$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OF}$.
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OB}{OF}$.
∴ $OB^{2}=OF\cdot OE$.

8. 理解与运用
【阅读材料】
角平分线分线段成比例定理：如图 19,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,则 $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图 20,过点 $ C $ 作 $ CE // AD $,交 $ BA $ 的延长线于点 $ E … … $
【问题解决】(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分。
【迁移运用】(2)如图 21,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ AB = 3 $,$ BC = 4 $,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,求 $ \triangle ABD $ 的周长。

答案：
(1)证明:
∵ CE//AD,
∴ $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$,$∠2=∠ACE$,$∠1=∠E$.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠1=∠2.
∴ ∠ACE=∠E.
∴ AE=AC.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)解:
∵ AB=3,BC=4,$∠B=90^{\circ}$,
∴ AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5$.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,即$\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$.又 CD+BD=BC=4,
∴ BD=$\frac{3}{8}BC=\frac{3}{2}$.
∴ AD=$\sqrt{BD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+3^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
∴ △ABD的周长=$\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$.