《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 如图 16,以$\triangle ABC$的 $AB边为直径作\odot O$,交 $BC$边于点 $E$,且 $E$为 $BC$的中点,$\angle CAB = 50^{\circ}$。求$\angle C$的度数。

答案： 解:连接AE.
∵ AB为直径，
∴ ∠AEB = ∠AEC = 90°，
∴ AE⊥BC.又E是BC的中点，
∴ BE = CE.在△ABE和△ACE中，$\begin{cases}AE = AE\\∠AEB = ∠AEC\\BE = CE\end{cases}$，
∴ △ABE ≌ △ACE(SAS).
∴ ∠B = ∠C.
∴ ∠C = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CAB) = $\frac{1}{2}$×(180° - 50°) = 65°.

7. 如图 17,在平面直角坐标系中,$O$为原点,直径为 10 的$\odot A$与 $y$轴相交于点 $C$和点 $O$,$B$是 $y$轴右侧优弧 $OC$上的一点,且$\angle OBC = 30^{\circ}$,则点 $C$的坐标为____。

答案： (0,5)　提示:连接CD.由∠COD = 90°，得CD是⊙A 的直径.则CD = 10.又∠ODC与∠OBC都是$\widehat{OC}$所对的圆周角，则∠ODC = ∠OBC = 30°.故OC = $\frac{1}{2}$CD = 5.因此C(0,5).

8. (2022 山东威海中考)如图 18,已知四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,连接 $AC$,$BD$,延长 $CD$至点 $E$。
(1) 当 $AB = AC$时,求证：$\angle ADB = \angle ADE$。
(2) 当 $BC = 3$,$\odot O$的半径为 2 时,求$\sin \angle BAC$的值。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°.又∠ADC + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ADE = ∠ABC.
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∴ ∠ADE = ∠ACB.
∵ 圆周角∠ACB和圆周角∠ADB所对的弧为$\widehat{AB}$，
∴ ∠ACB = ∠ADB.
∴ ∠ADB = ∠ADE.　　
(2)解:如图66，连接CO并延长，交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC = 90°.在Rt△BCF 中，CF = 4，BC = 3，
∴ sinF = $\frac{BC}{CF}$ = $\frac{3}{4}$.
∵ 圆周角∠F和圆周角∠BAC 所对的弧为$\widehat{BC}$，
∴ ∠F = ∠BAC.
∴ sin∠BAC = sinF = $\frac{3}{4}$.

9. 【阅读理解】如图 19,$Rt\triangle ABC$中,$a$,$b$,$c分别是\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边,$\angle C = 90^{\circ}$,其外接圆半径为 $R$。根据锐角三角函数的定义,得$\sin A = \frac{a}{c}$,$\sin B = \frac{b}{c}$。所以$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = c = 2R$,即$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$(规定$\sin 90^{\circ} = 1$)。


【探究活动】(1) 如图 20,在锐角三角形 $ABC$中,$a$,$b$,$c分别是\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边,其外接圆半径为 $R$,那么$\frac{a}{\sin A}$____$\frac{b}{\sin B}$____$\frac{c}{\sin C}$(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”),请说明理由。
事实上,以上结论适用于任意三角形。
【综合应用】(2) 如图 21,小凤同学测量古塔 $CD$的高度,在 $A$处用测角仪测得塔顶 $C$的仰角为 $15^{\circ}$,又沿古塔的方向前行了 $100\ m$到达 $B$处,此时 $A$,$B$,$D$三点在一条直线上,在 $B处测得塔顶C$的仰角为 $45^{\circ}$。请用上述结论求古塔 $CD$的高度。(结果精确到 $0.1$,$\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$)

答案：
(1)=　=　理由:如图67，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD.
∴ ∠A = ∠D，∠DBC = 90°.
∴ sinA = sinD = $\frac{a}{2R}$.
∴ $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{a}{\frac{a}{2R}}$ = 2R.同理可得$\frac{b}{sinB}$ = 2R，$\frac{c}{sinC}$ = 2R.
∴ $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ = 2R.　
(2)由题意得∠D = 90°，∠A = 15°，∠DBC = 45°，AB = 100m，
∴ ∠ACB = 30°.设古塔高DC = xm，则BC = $\sqrt{2}$xm.
∵ 在△ABC 中，$\frac{AB}{sin∠ACB}$ = $\frac{BC}{sinA}$，
∴ $\frac{100}{sin30°}$ = $\frac{\sqrt{2}x}{sin15°}$，即$\frac{100}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}x}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.
∴ x = 50($\sqrt{3}$ - 1) ≈ 50×0.732 = 36.6(m).故古塔的高度约为36.6m.