《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 坡角：坡面与地平面的夹角,记作$\alpha$。

答案： 坡角的定义正确，即坡面与地平面的夹角记作α。

2. 坡度：通常把坡面的铅直高度$h和水平宽度l$的______叫作坡度,通常用字母$i$表示,即$i= $______(坡度通常写成$1:m$的形式)。

答案： 比；$\frac{h}{l}$

3. 坡度$i与坡角\alpha$的关系：$i= \frac{h}{l}= $______。坡度越大,山坡越陡。

答案： $\tan\alpha$

4. 方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于$90^{\circ}$的角。

答案： 该定义正确

1. 如图 1,$AB$是河堤横截面的迎水坡,坡高$AC= \sqrt{3}$,水平距离$BC = 1$,则斜坡$AB$的坡度是( )。

A.$1:\sqrt{3}$


B.$1:\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$30^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B　提示:$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{1}$,故斜坡AB的坡度为$1:\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. 如图 2,一艘海轮位于灯塔$P的北偏东55^{\circ}方向的A$处,$PA = 6$n mile。若海轮沿正南方向航行到灯塔$P$的正东方向,则海轮航行的距离$AB$是( )。

A.$6$n mile
B.$6\cos55^{\circ}$n mile
C.$6\sin55^{\circ}$n mile
D.$6\tan55^{\circ}$n mile

答案： B

3. (2022 贵州毕节中考)图 3 是某地修建的一座建筑物的截面图,该建筑物的高$BC = 5$m,坡面$AB的坡度为1:\sqrt{3}$,则$AB$的长为( )。

A.$10$m
B.$10\sqrt{3}$m
C.$5$m
D.$5\sqrt{3}$m

答案： A　提示:由坡面AB的坡度为$\frac{BC}{AC}=\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$,得$AC=5\sqrt{3}$m.故$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=10$(m).

4. 如图 4,小明一家驾车到古镇$C$游玩,到达$A$地后,导航显示该车辆应沿北偏西$60^{\circ}方向行驶6$km 至$B$地,再沿北偏东$45^{\circ}方向行驶一段距离到达古镇C$。小明发现古镇$C恰好在A$地的正北方向,他过点$B作BE\perp AC于点E$,则$BE= $______km,$\angle C= $______$^{\circ}$,$BC= $______km。

答案： $3\sqrt{3}$；$45$；$3\sqrt{6}$

例 1 (2022 湖南郴州中考)图 5 是某水库大坝的横截面,坝高$CD = 20$m,背水坡$BC的坡度为i_1 = 1:1$。为了对水库大坝进行升级加固,降低背水坡的倾斜程度,设计人员准备把背水坡的坡度改为$i_2 = 1:\sqrt{3}$。求背水坡新起点$A与原起点B$之间的距离。(结果精确到$0.1$m；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$)

思路点拨 由图 5 可知,$AB = AD - BD$,要求$AB$,需要分别在$Rt\triangle BCD和Rt\triangle ACD中求BD和AD$。注意将坡度转化成线段的比。
解 在$Rt\triangle BCD$中,
$\because BC的坡度为i_1 = 1:1$,
$\therefore \frac{CD}{BD}= 1$。
$\because CD = 20$m,
$\therefore BD = 20$m。
在$Rt\triangle ACD$中,
$\because AC的坡度为i_2 = 1:\sqrt{3}$,
$\therefore \frac{CD}{AD}= \frac{1}{\sqrt{3}}$。
$\therefore AD= \sqrt{3}CD = 20\sqrt{3}$(m)。
$\therefore AB = AD - BD = 20\sqrt{3}-20\approx14.6$(m)。
答：背水坡新起点$A与原起点B之间的距离约为14.6$m。

答案： 在$Rt\triangle BCD$中，
$\because BC$的坡度为$i_1 = 1:1$，
$\therefore \frac{CD}{BD}=1$。
$\because CD = 20$m，
$\therefore BD = 20$m。
在$Rt\triangle ACD$中，
$\because AC$的坡度为$i_2 = 1:\sqrt{3}$，
$\therefore \frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
$\therefore AD=\sqrt{3}CD = 20\sqrt{3}$m。
$\therefore AB = AD - BD = 20\sqrt{3}-20\approx20×1.73 - 20=34.6 - 20=14.6$m。
答：背水坡新起点$A$与原起点$B$之间的距离约为$14.6$m。