《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例2 (2022 山东东营中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 1)x^{2}-2x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是 ______.

答案： 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$k - 1 \neq 0$，解得$k \neq 1$。
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$。其中$a = k - 1$，$b = -2$，$c = 1$，则$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(k - 1)×1 = 4 - 4(k - 1)$。
由$\Delta ＞ 0$可得：$4 - 4(k - 1) ＞ 0$，化简得$4 - 4k + 4 ＞ 0$，即$8 - 4k ＞ 0$，解得$k ＜ 2$。
综上，$k$的取值范围是$k ＜ 2$且$k \neq 1$。
$k ＜ 2$且$k \neq 1$

1. (2024 四川自贡中考)关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+mx - 2 = 0 $ 根的情况是( ).

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. (2024 江苏徐州中考)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+kx + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k $ 的值为 ______.

答案： $\pm 2$

3. 不解方程,判断下列方程根的情况：
(1) $ 2x^{2}+3x - 4 = 0 $；
(2) $ x^{2}-x + \frac{1}{4} = 0 $；
(3) $ 3x^{2}-5x + 3 = 0 $.

答案： 解:
(1)因为$\Delta=3^{2}-4× 2×(-4)=41＞0$,所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)因为$\Delta=(-1)^{2}-4× 1×\frac{1}{4}=0$,所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为$\Delta=(-5)^{2}-4× 3× 3=-11＜0$,所以原方程没有实数根.