《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 切线长：经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的______,叫作这点到圆的切线长.

答案： 长

2. 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长______,圆心和这一点的连线______两条切线的夹角.

答案： 相等 平分

1. 如图1,过点P作⊙O的切线PA,PB,A,B是切点,过⊙O上任一点C作⊙O的切线MN.下列不是切线长的是( ).

A.线段PA的长
B.线段MA的长
C.线段CN的长
D.线段MN的长

答案： D

2. 如图2,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于点A,B.若PA= 3,则PB的长为( ).

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B

3. 如图3,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点.若∠APB= 60°,则∠APO的度数为______.

答案： 30°

例 如图5,AB为⊙O直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.求证：OQ= PQ.

思路点拨 要证明OQ= PQ,可构造等腰三角形,证明等腰三角形两底角相等.于是,连接OP,只要证明∠QOP= ∠QPO即可.
证明 如图6,连接OP.
∵ PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,
∴ PA= PC,
∠APO= ∠CPO.
又OP= OP,
∴ △OPA≌△OPC(SAS).
∴ ∠AOP= ∠QOP.
∵ PA是⊙O的切线,∴ AB⊥PA.
又PQ⊥PA,∴ PQ//AB.
∴ ∠QPO= ∠AOP.
∴ ∠QOP= ∠QPO.∴ OQ= PQ.

答案： 证明：
连接$OP$，
$\because PA$，$PC$分别与$\odot O$相切于点$A$，$C$，
$\therefore PA = PC$，$\angle APO = \angle CPO$，
在$\triangle OPA$和$\triangle OPC$中，
$\begin{cases}PA = PC \\\angle APO = \angle CPO \\OP = OP\end{cases}$
$\therefore \triangle OPA\cong \triangle OPC(SAS)$，
$\therefore \angle AOP = \angle QOP$，
$\because PA$是$\odot O$的切线，
$\therefore AB\perp PA$，
$\because PQ\perp PA$，
$\therefore PQ// AB$，
$\therefore \angle QPO = \angle AOP$，
$\therefore \angle QOP = \angle QPO$，
$\therefore OQ = PQ$。