《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

8.(2024 广西中考)如图 18,已知 $ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,$ AB = AC $,$ D $,$ E $ 分别是 $ BC $,$ AC $ 的中点,连接 $ DE $ 并延长至点 $ F $,使 $ DE = EF $,连接 $ AF $.
(1)求证：四边形 $ ABDF $ 是平行四边形.
(2)求证：$ AF $ 与 $ \odot O $ 相切.
(3)已知 $ \tan \angle BAC = \frac{3}{4} $,$ BC = 12 $,求 $ \odot O $ 的半径.

答案：
(1)证明:
∵ D,E分别是BC,AC的中点,
∴ DE是△ABC的中位线,
∴ DE//AB,且DE=$\frac{1}{2}$AB.又DE=EF,
∴ DF=AB.
∴ 四边形ABDF是平行四边形.
(2)证明:如图78,连接AD.
∵ AB=AC,BD=DC,
∴ AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线.又O是△ABC的外心,
∴ 点O在AD上.由
(1)可知,四边形ABDF是平行四边形,BC//AF.
∴ AO⊥AF.又AO是⊙O的半径,
∴ AF与⊙O相切.
(3)解:如图78,连接OC.由
(2)可知CD=$\frac{1}{2}$BC=6,∠BAD=∠CAD.
∵ AO=CO,
∴ ∠OAC=∠OCA.又∠COD=∠OAC+∠OCA,
∴ ∠COD=2∠CAD=∠BAC.
∴ tan∠COD=tan∠BAC=$\frac{3}{4}$.在Rt△CDO中,OD=$\frac{CD}{tan∠COD}$=8.
∴ ⊙O的半径OC=$\sqrt{OD²+CD²}$=$\sqrt{8²+6²}$=10.

圆的切线的性质定理：
圆的切线______于过切点的半径.

答案： 垂直

1. 如图1,AB是⊙O的切线,A为切点,连接OA,OB.若∠B= 20°,则∠AOB的度数为( ).

A.40°
B.50°
C.60°
D.70°

答案： D

2. 如图2,⊙O的半径为2,PA是⊙O的切线,切点为A,∠APO= 30°,则OP的长为( ).

A.1
B.√3
C.2
D.4

答案： D 提示:连接AO.由PA与$\odot O$相切于点A,得$OA⊥AP,OA = 2$.又$∠APO = 30^{\circ}$,故$OP = 4$.

3. 如图3,P是⊙O外一点,PA与⊙O相切于点A,PO= 13 cm,PA= 12 cm,则⊙O的半径为______cm.

答案： 5