《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 某超市以每件 13 元的价格购进一种商品,销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于 18 元。经过市场调查发现,该商品每天的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元)之间满足图 2 所示的一次函数关系。

1. 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
2. 销售单价定为多少时,该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

答案： 1. 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = kx + b$。
根据图 2，当 $x = 14$ 时，$y = 220$；当 $x = 16$ 时，$y = 180$。
代入得：
$\begin{cases}14k + b = 220, \\16k + b = 180.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -20, \\b = 500.\end{cases}$
所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -20x + 500$。
2. 设超市每天销售这种商品所获的利润为 $w$ 元。
则 $w = (x - 13)(-20x + 500)$
$= -20x^2 + 760x - 6500$
$= -20(x - 19)^2 + 720$
由于 $13 \leq x \leq 18$，且 $w$ 在 $x \leq 19$ 时随 $x$ 增大而增大，
所以当 $x = 18$ 时，$w$ 取得最大值，
$w_{最大} = -20(18 - 19)^2 + 720 = 700 (元) （代入$x=18$计算）$
$= -20×( - 1)^2 + 720$
$=700$
答：销售单价定为 18 元时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是 700 元。