《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

17. (16 分) (2022 辽宁锦州中考) 如图 11,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头 $C$,货轮航行到 $A$ 处时,测得码头 $C$ 在北偏东 $60°$ 方向上。为了躲避 $A$,$C$ 两处之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东 $30°$ 方向航行,到 $B$ 处后,又沿着南偏东 $70°$ 方向航行 $20\ n mile$ 到达码头 $C$。求货轮从 $A$ 处到 $B$ 处航行的距离。(结果精确到 $0.1\ n mile$；参考数据：$\sin 50° \approx 0.766$,$\cos 50° \approx 0.643$,$\tan 50° \approx 1.192$)

答案：
解:如图27,过点$B$作$BD\perp AC$于点$D$.由题意可知$\angle ABE=30^{\circ}$,$\angle BAC=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$,则$\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$.在$Rt\triangle BCD$中,$\angle C=50^{\circ}$,$BC=20nmile$,$\therefore BD=BC\cdot\sin50^{\circ}\approx20×0.766=15.32(nmile)$.在$Rt\triangle ABD$中,$\angle BAD=30^{\circ}$,$BD=15.32nmile$,$\therefore AB=2BD=30.64\approx30.6(nmile)$.答:货轮从$A$处到$B$处航行的距离约为$30.6nmile$.

18. 理解与运用
【阅读材料】学习了三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sad)。
如图 12,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,顶角 $A$ 的正对记作 $sad\ A$,这时 $sad\ A = \frac{底边}{腰} = \frac{BC}{AB}$。容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。

【问题解决】
(1) $sad\ 60°$ 的值为____。
(2) 对于 $0° ＜ A ＜ 180°$,$\angle A$ 的正对 $sad\ A$ 的取值范围是____。
(3) 如图 13,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90°$,$\sin A = \frac{3}{5}$,求 $sad\ A$ 的值。

答案：

(1)$1$ 提示:根据正对定义,当顶角为$60^{\circ}$时,三角形为等边三角形,三条边相等.故$sad\ 60^{\circ}=1$.
(2)$0＜sad\ A＜2$ 提示:当$\angle A$接近$0^{\circ}$时,等腰三角形底边长接近0,故$sad\ A$接近0;当$\angle A$接近$180^{\circ}$时,等腰三角形的底边长接近腰的2倍,故$sad\ A$接近2.于是$0＜sad\ A＜2$.
(3)如图28,作$Rt\triangle ACB$,其中$\angle ACB=90^{\circ}$,$\sin A=\frac{3}{5}$.在$AB$上取点$D$,使$AD=AC$,作$DH\perp AC$于点$H$.在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\sin A=\frac{3}{5}$.令$BC=3k$,$AB=5k$,则$AD=AC=\sqrt{(5k)^{2}-(3k)^{2}}=4k$.在$\triangle ADH$中,$\angle AHD=90^{\circ}$,$\sin A=\frac{3}{5}$,$\therefore DH=AD\cdot\sin A=\frac{12}{5}k$,$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\frac{16}{5}k$.在$Rt\triangle CDH$中,$CH=AC-AH=4k-\frac{16}{5}k=\frac{4}{5}k$,$CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}k$.$\therefore$在$\triangle ACD$中,$AD=AC=4k$,$CD=\frac{4\sqrt{10}}{5}k$.由正对的定义,得$sad\ A=\frac{CD}{AD}=\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}k}{4k}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.