《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 下列函数,为二次函数的是( ).

A.$y = x-\frac{1}{x}$
B.$y= (x - 3)^{2}-x^{2}$
C.$y = -2x$
D.$y = 2(x + 1)^{2}-1$

答案： D

2. 二次函数$y= -x^{2}-1$中,二次项系数$a$,一次项系数$b$,常数项$c$分别是( ).

A.$-1$,$-1$,$0$
B.$-1$,$0$,$1$
C.$-1$,$0$,$-1$
D.$1$,$0$,$-1$

答案： C

3. (教材第3页例题变式)一个矩形的长为20 cm、宽为10 cm,在四个角上各剪去一个边长为$x$ cm的小正方形,折成底面积为$y$ $cm^{2}$的无盖长方体盒子,则$y与x(0＜x＜5)$之间的函数表达式为______.(化为一般形式)

答案： $y=4x^{2}-60x+200$

4. 若$y= (m - 1)x^{m^{2}+m}是关于x$的二次函数,则$m$的值为______.

答案： -2 提示:由题意,得$m^{2}+m=2$,且$m-1≠0$.解得$m=-2$.

5. (教材第4页习题第3题变式)如图3,某小区计划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地$ABCD上修建三条宽度均为x$ m的小路,使其中两条与$AB$垂直,另一条与$AB$平行,剩余部分种草.设剩余部分的面积为$y$ $m^{2}$,求$y与x$之间的函数表达式,并写出自变量的取值范围.

答案： 解:由题意,得$y=(40-2x)(26-x)=2x^{2}-92x+1040$.因为$40-2x＞0,26-x＞0,x＞0$,所以自变量x的取值范围是$0＜x＜20$.因此y与x之间的函数表达式为$y=2x^{2}-92x+1040(0＜x＜20)$.

6. 某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.经市场调查发现,该商品的售价每涨1元,每星期少卖出10件.设该商品每件涨价$x$元($x$为非负整数),每星期的利润为$w$元,写出$w与x$之间的函数表达式.

答案： 解:由题意,得每星期可卖出该商品$(150-10x)$件.所以$w=(40+x-30)(150-10x)=-10x^{2}+50x+1500$.

7. 如图4,等边三角形$ABC$的边长为1,$D是BC$边上的一点(不与点$B$,$C$重合),作$DG\perp AB于点G$.用$x表示线段AG$的长度,$y表示Rt\triangle GBD$的面积.
(1)求$y与x$之间的函数表达式,并直接写出自变量$x$的取值范围.
(2)将(1)中的函数表达式化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 解:
(1)因为$AG=x,AB=1$,所以$GB=1-x$.由$\triangle ABC$是等边三角形,得$∠B=60^{\circ }$.又$DG⊥AB$,故$∠BDG=30^{\circ }$.所以$BD=2GB=2(1-x),DG=BD\cdot \sin60^{\circ }=\sqrt {3}(1-x)$.故$y=\frac {1}{2}GB\cdot DG=\frac {\sqrt {3}}{2}(1-x)^{2}$,即y与x之间的函数表达式为$y=\frac {\sqrt {3}}{2}(1-x)^{2}(\frac {1}{2}＜x＜1)$. (由于$\triangle ABC$是等边三角形,点D是BC边上一点,因此,当点D在点C处时,$x=\frac {1}{2}$;当点D在点B处时,$x=1$.故自变量x的取值范围是$\frac {1}{2}＜x＜1$)
(2)$y=\frac {\sqrt {3}}{2}(1-x)^{2}=\frac {\sqrt {3}}{2}x^{2}-\sqrt {3}x+\frac {\sqrt {3}}{2}$,二次项系数为$\frac {\sqrt {3}}{2}$,一次项系数为$-\sqrt {3}$,常数项为$\frac {\sqrt {3}}{2}$.