《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

10. (2023 广西中考)如图 2,过$y = \frac{k}{x}$($x ＞ 0$)图象上的点$A分别作x$轴,$y$轴的平行线,交$y = -\frac{1}{x}的图象于点B$,$D$,以$AB$,$AD为邻边的矩形ABCD$被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$。若$S_{2} + S_{3} + S_{4} = \frac{5}{2}$,则$k$的值为( )。


A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： C 提示：由图象可知$k＞0$，设$A\left(m,\frac{k}{m}\right)$.在$y=-\frac{1}{x}$中，令$y=\frac{k}{m}$，得$x=-\frac{m}{k}$；令$x=m$，得$y=-\frac{1}{m}$.所以$B\left(-\frac{m}{k},\frac{k}{m}\right)$，$D\left(m,-\frac{1}{m}\right)$.则$C\left(-\frac{m}{k},-\frac{1}{m}\right)$，$S_{2}=S_{4}=1$，$S_{3}=\frac{1}{k}$.又$S_{2}+S_{3}+S_{4}=\frac{5}{2}$，所以$1+\frac{1}{k}+1=\frac{5}{2}$.解得$k=2$.经检验，$k=2$是原方程的解，且符合题意.

11. 反比例函数$y = -\frac{2}{5x}$的比例系数为____。

答案： $-\frac{2}{5}$

12. 反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象过点(-1,2)$,则当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而____。

答案： 增大

13. 试验表明,当导线的长度一定时,导线的电阻与它的横截面积成反比例关系。一条长为$100 cm的导线的电阻R$($\Omega$)与它的横截面积$S$($cm^{2}$)的函数图象如图 3,则当$S = 2 cm^{2}$时,$R = $____$\Omega$。

答案： 14.5

14. (2023 辽宁丹东中考)如图 4,点$A是反比例函数y = \frac{k}{x}$($x ＞ 0$)的图象上一点,过点$A作AC \perp x$轴,垂足为点$C$,延长$AC至点B$,使$BC = 2AC$,$D是y$轴上任意一点,连接$AD$,$BD$。若$\triangle ABD的面积是6$,则$k$的值为____。

答案： 4 提示：过点D作$DE\perp AB$交AB的延长线于点E.设$A(m,n)$.因为$x＞0$，点A在第一象限，所以$m＞0$，$n＞0$，$k=mn$.因为$AC\perp x$轴于点C，所以$OC=m$，$AC=n$.所以$BC=2AC=2n$，$AB=BC+AC=3n$.因为$AC\perp x$轴，$DE\perp AB$，$\angle DOC=90^{\circ}$，所以四边形ODEC为矩形.所以$DE=OC=m$.因为$\triangle ABD$的面积是6，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=6$，即$\frac{1}{2}\cdot 3n\cdot m=6$，即$mn=4$.所以$k=mn=4$.

15. (14 分)(跨学科)已知某电路的电压$U$($V$)、电流$I$($A$)和电阻$R$($\Omega$)三者之间的关系为$U = IR$,且电路的电压$U恒为6 V$。
(1)求电流$I关于电阻R$的函数表达式。
(2)若接入该电路的电阻为$25 \Omega$,则通过它的电流是多少？

答案：
(1)因为$U=IR$，所以$I=\frac{U}{R}$.因为$U=6\ V$，所以电流I关于电阻R的函数表达式为$I=\frac{6}{R}(R＞0)$.
(2)在$I=\frac{6}{R}$中，当$R=25$时，$I=\frac{6}{25}=0.24(A)$.故当接入该电路的电阻为25$\Omega$时，通过它的电流是0.24 A.

16. (14 分)如图 6,一次函数$y = -x + 3的图象与反比例函数y = \frac{k}{x}$($k \neq 0$)在第一象限的图象交于$A(1,a)和B$两点,与$x轴交于点C$。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)当点$P在x$轴上,且$\triangle APC的面积为5$时,求点$P$的坐标。

答案：
(1)把点$A(1,a)$代入$y=-x+3$，得$a=2$.故点A的坐标为$(1,2)$.把点$A(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2$.因此反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.
(2)在$y=-x+3$中，当$y=0$时，$x=3$，故点C的坐标为$(3,0)$.设$P(x,0)$，则$PC=|3-x|$.因此$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}×|3-x|×2=5$.解得$x=-2$或$x=8$.故点P的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$.