《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

7. 根据图 8 中的函数图象填空(均填序号)：
函数 $ y = -7x^2 $ 的图象是______；
函数 $ y = \frac{2}{3}x^2 $ 的图象是______；
函数 $ y = x^2 $ 的图象是______；
函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 的图象是______。

小锦囊：对于 $ y = ax^2 $ 的图象,$ |a| $ 越大,开口越小。

答案： ③　②　①　④

8. 二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象与直线 $ y = 2x - 1 $ 交于点 $ P(1, m) $。
(1) 求 $ a $,$ m $ 的值。
(2) 写出该二次函数的表达式和该函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,并指出当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 解:
(1)因为点$P(1,m)$在$y=2x - 1$的图象上,所以$m = 2×1 - 1 = 1$.所以点P的坐标为$(1,1)$.将点$(1,1)$代入$y = ax^{2}$,得$a = 1$.　
(2)由
(1)知该二次函数的表达式为$y = x^{2}$.所以该二次函数图象的顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为y轴，开口向上.当$x＞0$时,y随x的增大而增大.

9. 综合与探究
如图 9,在 $ x $ 轴上有两点 $ A(m, 0) $,$ B(n, 0)(n ＞ m ＞ 0) $,分别过点 $ A $,$ B $ 作 $ x $ 轴的垂线,交抛物线 $ y = -x^2 $ 于点 $ C $,$ D $,直线 $ OC $ 交直线 $ BD $ 于点 $ E $,直线 $ OD $ 交直线 $ AC $ 于点 $ F $,点 $ E $,$ F $ 的纵坐标分别记作 $ y_E $,$ y_F $。

特例探究
(1) 当 $ m = 1 $,$ n = 2 $ 时,$ y_E = $______,$ y_F = $______；当 $ m = 3 $,$ n = 5 $ 时,$ y_E = $______,$ y_F = $______。
归纳证明
(2) 对任意实数 $ m $,$ n(n ＞ m ＞ 0) $,猜想 $ y_E $ 与 $ y_F $ 的大小关系,并证明你的猜想。
拓展应用
(3) 将抛物线 $ y = -x^2 $ 改为抛物线 $ y = ax^2(a ＜ 0) $,其他条件不变,请直接写出 $ y_E $ 与 $ y_F $ 的大小关系。

答案： 解:
(1)−2　−2　−15　−15　提示:当$m = 1,n = 2$ 时,由题意可得$A(1,0),B(2,0),C(1,−1),D(2,−4)$.故直线OC所对应的函数的表达式是$y = -x$,直线OD所对应的函数的表达式是$y = -2x$.从而点F的坐标是$(1,−2)$,点E的坐标是$(2,−2)$.故$y_{E} = y_{F} = -2$.同理可得,当$m = 3,n = 5$时,$y_{E} = y_{F} = -15$.　
(2)猜想:$y_{E} = y_{F}$.证明:因为点A的坐标是$(m,0)$,点B的坐标是$(n,0)(n＞m＞0)$,$AC⊥x$轴,$BD⊥x$轴,点C,D在抛物线$y = -x^{2}$上,所以点C的坐标是$(m,−m^{2})$,点D的坐标是$(n,−n^{2})$.设直线OC所对应的函数的表达式是$y = kx$,将点C的坐标代入,得$km = -m^{2}$.解得$k = -m$.所以直线OC所对应的函数的表达式是$y = -mx$.同理可得，直线OD所对应的函数的表达式是$y = -nx$.则点E的坐标是$(n,−mn)$,点F的坐标是$(m,−mn)$.所以$y_{E} = y_{F}$.　　
(3)$y_{E} = y_{F}$.