《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 如图 9,在四边形 ABCD 中,AD//BC,点 E 在 BC 上,∠C = ∠DEA.
(1) 求证：△DEC∽△ADE.
(2) 已知 CE = 2,DE = 4,求△DEC 与△ADE 的周长之比.

答案： （1）证明：$\because AD// BC$，$\therefore \angle DEC=\angle ADE$.又$\angle C=\angle DEA$，$\therefore \triangle DEC\backsim \triangle ADE$. （2）解：$\because \triangle DEC\backsim \triangle ADE$，$\therefore \triangle DEC$与$\triangle ADE$的周长比$=\frac{CE}{DE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

6. 如图 10,D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,且 DE//AC,AE 与 CD 相交于点 O.若$\frac{S_{△DOE}}{S_{△COA}}= \frac{1}{25}$,则$\frac{S_{△BDE}}{S_{△CDE}}$值为______.

答案： $\frac{1}{4}$ 提示：由$DE// AC$，得$\triangle DOE\backsim \triangle COA$.因为$\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle COA}}=\frac{1}{25}$，所以$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{5}$.由$DE// AC$，得$\triangle BDE\backsim \triangle BAC$.则$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{5}$.故$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{4}$.因此$\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{1}{4}$.

7. 如图 11,已知矩形 ABCD 的边 AD 长为 8,将矩形 ABCD 折叠,使顶点 B 落在 CD 边上的点 P 处,折痕为 AO.
(1) 求证：△OCP∽△PDA.
(2) 当△OCP 与△PDA 的周长比为$\frac{1}{2}$时,求 AB 的长.

答案： （1）证明：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}$.$\therefore \angle CPO+\angle POC=90^{\circ}$.由折叠的性质，得$\angle APO=\angle B=90^{\circ}$.$\therefore \angle CPO+\angle APD=90^{\circ}$.$\therefore \angle POC=\angle APD$.$\therefore \triangle OCP\backsim \triangle PDA$. （2）解：$\because \triangle OCP$与$\triangle PDA$的周长比为$\frac{1}{2}$，$\triangle OCP\backsim \triangle PDA$，$\therefore \frac{OP}{PA}=\frac{PC}{AD}=\frac{1}{2}$.$\therefore PA=2OP$，$AD=2PC$.$\because AD=8$，$\therefore PC=4$，$BC=8$.设$OP=x$，则$OB=x$，$OC=8-x$.在$Rt\triangle PCO$中，$OP^{2}=OC^{2}+PC^{2}$，即$x^{2}=(8-x)^{2}+4^{2}$.解得$x=5$.$\therefore OP=5$，由折叠的性质，得$AB=PA=2OP=10$.

8. 如图 12,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,AC 上,DE//AC,EF//AB.
(1) 求证：△BDE∽△EFC.
(2) 设$\frac{AF}{FC}= \frac{1}{2}$.
① 当 BC = 12 时,求线段 BE 的长.
② 当△FEC 的面积是 20 时,求△ABC 的面积.

答案： （1）证明：$\because DE// AC$，$\therefore \angle DEB=\angle C$.$\because EF// AB$，$\therefore \angle B=\angle FEC$.$\therefore \triangle BDE\backsim \triangle EFC$. （2）解：①$\because EF// AB$，$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$.$\because EC=BC-BE=12-BE$，$\therefore \frac{BE}{12-BE}=\frac{1}{2}$.解得$BE=4$.②$\because \frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$.$\because EF// AB$，$\therefore \triangle FEC\backsim \triangle ABC$.$\therefore \frac{S_{\triangle FEC}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{FC}{AC}\right)^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{9}{4}S_{\triangle FEC}=\frac{9}{4}× 20=45$.