《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 锐角的正切：在直角三角形中,我们把锐角α的对边与____的比叫作角α的正切,记作tanα,即tanα= ____。

答案： 邻边；$\frac{角α的对边}{角α的邻边}$

2. 特殊角的正切值：
tan30°= ____,tan45°= ____,
tan60°= ____。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$；1；$\sqrt{3}$

3. 锐角三角函数：把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数。

答案： 正确

1. 下列结论,正确的是( )。

A.sin60°= $\frac{1}{2}$
B.tan60°= $\sqrt{3}$
C.tan45°= $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.tan30°= $\frac{1}{2}$

答案： B

2. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,BC= 4,则tanA的值是( )。

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： D

3. 已知tanα= 0.8573,则锐角α≈____(精确到0.1°)。

答案： 40.6°

4. 如图1,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 4,tanA= $\frac{1}{2}$,则BC的长是____。

答案： 2

例1 如图2,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 8,BC= 6,CD⊥AB,垂足为点D,求tan∠BCD的值。

思路点拨 思路一：找出∠BCD所在直角三角形的两直角边,进而求出正切值。
思路二：求出与∠BCD相等的锐角的正切值。
解 方法一：在Rt△ABC中,
∵∠ACB= 90°,AC= 8,BC= 6,
∴AB= $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}= \sqrt{8^{2}+6^{2}}= 10$。
由面积公式,得$\frac{1}{2}AB·CD= \frac{1}{2}AC·BC$,即CD= $\frac{AC·BC}{AB}= \frac{8×6}{10}= \frac{24}{5}$。
∵CD⊥AB,
∴BD= $\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}= \sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}= \frac{18}{5}$。
∴tan∠BCD= $\frac{BD}{CD}= \frac{\frac{18}{5}}{\frac{24}{5}}= \frac{3}{4}$。
方法二：在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B= 90°,∠BCD+∠B= 90°。
∴∠A= ∠BCD。
∴tan∠BCD= tanA= $\frac{BC}{AC}= \frac{6}{8}= \frac{3}{4}$。

答案： 解：
方法一：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，
$\because \angle ACB = 90{°},AC = 8,BC = 6$，
$\therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$，
由面积公式得，$\frac{1}{2}AB \cdot CD = \frac{1}{2}AC \cdot BC$，
即$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{8 × 6}{10} = \frac{24}{5}$，
$\because CD \perp AB$，
$\therefore BD = \sqrt{BC^{2} - CD^{2}} = \sqrt{6^{2} - (\frac{24}{5})^{2}} = \frac{18}{5}$，
$\therefore tan\angle BCD = \frac{BD的对边}{BD的邻边} = \frac{BD}{CD} = \frac{\frac{18}{5}}{\frac{24}{5}} = \frac{3}{4}$。
方法二：
$\because \angle ACB = 90{°}$，
$\therefore \angle A + \angle B = 90{°}$，
$\because CD \perp AB$，
$\therefore \angle CDB = 90{°}$，
$\therefore \angle BCD + \angle B = 90{°}$，
$\therefore \angle A = \angle BCD$，
$\therefore tan\angle BCD = tanA = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。