《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 如图 11,已知△ABC∽△ADE,$\frac{AE}{EC} = \frac{5}{3}$,$BC = 6$cm,$∠A = 40°$,$∠C = 45°$.
(1)求$∠ADE$的度数.
(2)求$DE$的长.

答案：
(1)在$\triangle ABC$中,$\angle A=40^{\circ}$,$\angle C=45^{\circ}$,$\therefore \angle B=180^{\circ}-40^{\circ}-45^{\circ}=95^{\circ}$.$\because \triangle ABC\backsim \triangle ADE$.$\therefore \angle ADE=\angle B=95^{\circ}$.
(2)$\because \frac{AE}{EC}=\frac{5}{3}$,$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{5}{8}$.$\because \triangle ABC\backsim \triangle ADE$,$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{5}{8}$.又$BC=6\ cm$,$\therefore DE=\frac{15}{4}\ cm$.

7. 如图 12,已知△ABC∽△CBD,$AB = 4$,$BD = 6$.求$BC$的长.

答案： 解:$\because \triangle ABC\backsim \triangle CBD$,$\therefore \frac{AB}{CB}=\frac{BC}{BD}$.$\because AB=4$,$BD=6$,$\therefore BC^{2}=AB\cdot BD=4× 6=24$.$\therefore BC=2\sqrt{6}$(负值已舍去).

8. 如图 13,有一个矩形花坛 ABCD,其中$AB = 20$m,$AD = 30$m.现要在矩形花坛的四周修建小路.如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成的矩形 A'B'C'D'与矩形 ABCD 相似吗？请说明理由.

答案： 解:矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似.理由:假设两个矩形相似,不妨设小路宽为$a\ m$,则$\frac{30+2a}{30}=\frac{20+2a}{20}$,解得$a=0$.由题意可知,小路的宽不可能为0,故矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似.

9. 如图 14,在△ABC 中,$AC = 3$cm,$BC = 6$cm,D 是 AC 上一点,$AD = 2$cm,点 P 从点 C 处出发,沿 CB 边以 1 cm/s 的速度运动至点 B 处,线段 DP 将△ABC 分成两部分,其中一部分与△ABC 相似,设运动时间为$t$s.求所有满足条件的$t$的值.

答案：
解:$\because AC=3\ cm$,$AD=2\ cm$,$\therefore CD=AC - AD=1\ cm$.由题意得$CP=t\ cm$.如图8,当$\triangle CP_{1}D\backsim \triangle CAB$时,有$\frac{CP_{1}}{CA}=\frac{CD}{CB}$.$\because BC=6\ cm$,$\therefore \frac{t}{3}=\frac{1}{6}$.$\therefore t=\frac{1}{2}$.当$\triangle CDP_{2}\backsim \triangle CAB$时,有$\frac{CD}{CA}=\frac{P_{2}C}{BC}$,即$\frac{1}{3}=\frac{t}{6}$.$\therefore t=2$.综上所述,满足条件的$t$的值为$\frac{1}{2}$或2.