《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 已知二次函数 $ y = (5 - m)x^2 $ 有最小值,则 $ m $ 的取值范围为( )。

A.$ m ＞ 5 $
B.$ m ＜ 5 $
C.$ m \geq 5 $
D.$ m \leq 5 $

答案： B

2. 如图 1,用绳子围成周长为 10 m 的矩形。记矩形的两边长分别为 $ x $ m,$ y $ m,面积为 $ S $ $ m^2 $。当 $ x $ 在一定范围内变化时,$ y $ 和 $ S $ 都随 $ x $ 的变化而变化,则 $ y $ 与 $ x $,$ S $ 与 $ x $ 满足的函数关系分别是( )。

A.一次函数关系,二次函数关系
B.反比例函数关系,二次函数关系
C.一次函数关系,反比例函数关系
D.反比例函数关系,一次函数关系
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答案： A

3. 二次函数 $ y = ax^2 + 3ax + 4 $($ a \neq 0 $)的部分图象如图 2,该二次函数的图象过点 $ A(-4, 0) $,$ B(1, 0) $,由图象可知,关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + 3ax + 4 = 0 $ 的两个根分别是( )。

A.$ x_1 = -4 $,$ x_2 = -1 $
B.$ x_1 = -4 $,$ x_2 = 1 $
C.$ x_1 = 4 $,$ x_2 = 1 $
D.$ x_1 = 4 $,$ x_2 = -1 $
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答案： B

4. 一条抛物线对应的函数的表达式为 $ y = 3(x - 2)^2 + 1 $,若将 $ x $ 轴向上平移 2 个单位,将 $ y $ 轴向左平移 3 个单位,则该抛物线在新的平面直角坐标系中对应的函数的表达式为( )。

A.$ y = 3(x + 1)^2 + 3 $
B.$ y = 3(x - 5)^2 + 3 $
C.$ y = 3(x - 5)^2 - 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^2 - 1 $

答案： C 提示:将$x$轴向上平移2个单位,将$y$轴向左平移3个单位,相当于将抛物线$y = 3(x - 2)^{2}+1$向下平移2个单位,再向右平移3个单位.

5. 已知 $ A(-2, y_1) $,$ B(1, y_2) $,$ C(2, y_3) $ 是抛物线 $ y = -(x + 1)^2 + a $ 上的三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系为( )。

A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
C.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $

答案： D 提示:由$y = -(x + 1)^{2}+a$,可知抛物线的对称轴是直线$x = -1$.则点$A(-2,y_{1})$关于对称轴对称的点为$A'(0,y_{1})$.因为当$x ＞ -1$时,$y$随$x$的增大而减小,且$2 ＞ 1 ＞ 0$,所以$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$.

6. 已知二次函数的图象如图 3,则这个二次函数的表达式为( )。

A.$ y = x^2 - 2x + 3 $
B.$ y = x^2 - 2x - 3 $
C.$ y = x^2 + 2x - 3 $


D.$ y = x^2 + 2x + 3 $
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答案： B

7. 如图 4,一座拱桥的截面形状是抛物线,其对应的函数的表达式为 $ y = -\frac{1}{16}x^2 $,当水面距拱顶的高度 $ OH $ 为 4 m 时,水面的宽度 $ AB $ 为( )。

A.4 m
B.8 m
C.12 m
D.16 m
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答案： D

8. 如图 5,在长为 2、宽为 1 的矩形 $ ABCD $ 的较短边 $ AD $ 上找一点 $ E $,过点 $ E $ 剪下两个正方形,它们的边长分别是 $ AE $,$ DE $,设 $ AE = x $,剪下的两个正方形的面积之和为 $ y $,则当 $ y $ 最小时,$ x $ 的值为( )。

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{3}{2} $
C.2
D.$ \frac{\sqrt{2} - 1}{2} $
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答案： A 提示:根据题意,得$y = AE^{2}+DE^{2}=x^{2}+(1 - x)^{2}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}$.因为$0 ＜ x ＜ 1$,所以当$x = \frac{1}{2}$时,$y$取得最小值.