《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 如图 14,在 $ \triangle OAB $ 中,$ OA = 2\sqrt{5} $,$ OB = 4\sqrt{5} $,$ OA \perp OB $,以点 $ O $ 为圆心,以 4 为半径作 $ \odot O $. 求证：$ AB $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案： 证明:过圆心O作OC⊥AB于点C.
∵ OA⊥OB,
∴ ∠AOB=90°.在Rt△OAB中,OA=2$\sqrt{5}$,OB=4$\sqrt{5}$,AB=$\sqrt{OA²+OB²}$=10.
∵ S△AOB=$\frac{1}{2}$OC·AB=$\frac{1}{2}$OB·OA,
∴ OC=$\frac{OB·OA}{AB}$=4.又⊙O的半径为4,
∴ OC为⊙O的半径.
∴ AB是⊙O的切线.

5. 如图 15,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,$ C $ 是 $ \odot O $ 上一点,点 $ D $ 在 $ AB $ 的延长线上,且 $ \angle DCB = \angle A $. 求证：$ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案： 证明:连接OC.
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∴ ∠A+∠ABC=90°.
∵ OB=OC,
∴ ∠ABC=∠OCB.又∠DCB=∠A,
∴ ∠DCB+∠OCB=∠A+∠ABC=90°,即∠OCD=90°.
∴ OC⊥DC.又OC是⊙O的半径,
∴ CD是⊙O的切线.

6. 如图 16,$ \triangle ABC $ 为等腰三角形,$ O $ 是底边 $ BC $ 的中点,过点 $ O $ 作 $ OD \perp AB $ 于点 $ D $,以点 $ O $ 为圆心、$ OD $ 的长为半径作 $ \odot O $.

求证：$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线.

答案： 证明:如图77,连接OA,作OE⊥AC于点E.
∵ △ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴ AO平分∠BAC.
∵ OD⊥AB,OE⊥AC,
∴ OE=OD.
∴ OE是⊙O的半径.
∴ AC是⊙O的切线.

7. 如图 17,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,点 $ O $ 在 $ AC $ 上,以 $ OA $ 的长为半径的 $ \odot O $ 交 $ AB $ 于点 $ D $,$ EF $ 垂直平分线段 $ BD $,交 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ BD $ 于点 $ F $,连接 $ DE $. 求证：$ DE $ 与 $ \odot O $ 相切.

答案： 证明:连接OD.
∵ EF垂直平分线段BD,
∴ ED=EB.
∴ ∠EDB=∠B.
∵ OA=OD,
∴ ∠A=∠ODA.
∵ ∠C=90°,
∴ ∠A+∠B=∠ODA+∠EDB=90°,
∴ ∠ODE=90°.
∴ OD⊥DE.又OD是⊙O的半径,
∴ 直线DE与⊙O相切.