《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

12. (2023 广西中考) 如图 6,焊接一个钢架,包括底角为 $37°$ 的等腰三角形外框和 $3\ m$ 高的支柱,则共需钢材约____$m$。(结果取整数；参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$,$\cos 37° \approx 0.80$,$\tan 37° \approx 0.75$)

答案： 21

13. 如图 7,一艘船以 $40\ n mile/h$ 的速度由西向东航行,航行到 $A$ 处时,测得灯塔 $P$ 位于船的北偏东 $30°$ 方向；继续航行 $2.5\ h$,到达 $B$ 处,测得灯塔 $P$ 位于船的北偏西 $60°$ 方向,则船行到 $B$ 处时与灯塔 $P$ 的距离为____$n mile$(结果保留根号)。

答案： $50\sqrt{3}$ 提示:根据题意,得$\angle PAB=60^{\circ}$,$\angle PBA=30^{\circ}$,$AB=2.5×40=100(nmile)$.故$\angle P=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$.在$Rt\triangle PAB$中,$PB=AB\cdot\sin\angle PAB=100×\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}(nmile)$.

14. 已知菱形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图 8,$\angle AOC = 45°$,$OC = \sqrt{2}$,则点 $B$ 的坐标是____。

答案： $(\sqrt{2}+1,1)$ 提示:过点$B$作$BD\perp x$轴于点$D$.由四边形$OABC$是菱形,得$OA=AB=OC=\sqrt{2}$,$AB// OC$,则$\angle BAD=\angle AOC=45^{\circ}$.故$BD=AB\cdot\sin45^{\circ}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$,$AD=BD=1$.则$OD=OA+AD=\sqrt{2}+1$.因此点$B$的坐标是$(\sqrt{2}+1,1)$.

15. (14 分) 如图 9,在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle C = 90°$,$BC = 8$,$\tan B = \frac{1}{2}$,点 $D$ 在 $BC$ 上,且 $BD = AD$。
(1) 求 $AC$ 的长。
(2) 求 $\tan \angle ADC$ 的值。

答案： 解:
(1)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$BC=8$,$\tan B=\frac{1}{2}$,$\therefore\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{8}=\frac{1}{2}$.解得$AC=4$.
(2)设$CD=x$,则$AD=BD=8-x$.在$Rt\triangle ACD$中,根据勾股定理,得$AD^{2}=CD^{2}+AC^{2}$,即$(8-x)^{2}=x^{2}+4^{2}$.解得$x=3$.$\therefore CD=3$.$\therefore\tan\angle ADC=\frac{AC}{CD}=\frac{4}{3}$.

16. (14 分) (2022 内蒙古包头中考) 如图 10,$AB$ 是底部(点 $B$)不可到达的一座建筑物,$A$ 为建筑物的最高点,测角仪的高 $DH = CG = 1.5\ m$。某数学兴趣小组为测量建筑物 $AB$ 的高度,先在 $H$ 处用测角仪测得建筑物顶端 $A$ 的仰角 $\angle ADE$ 为 $\alpha$,再向前走 $5\ m$ 到达 $G$ 处,测得建筑物顶端 $A$ 的仰角 $\angle ACE$ 为 $45°$。已知 $\tan \alpha = \frac{7}{9}$,$AB \perp BH$,$H$,$G$,$B$ 三点在同一水平线上。求建筑物 $AB$ 的高度。

答案： 解:由题意,得$DH=CG=BE=1.5m$,$CD=GH=5m$,$DE=BH$,$\angle AED=90^{\circ}$.设$CE=xm$,则$BH=DE=DC+CE=(x+5)m$.在$Rt\triangle ACE$中,$\angle ACE=45^{\circ}$,$\therefore AE=CE=xm$.在$Rt\triangle ADE$中,$\angle ADE=\alpha$,$\therefore\tan\alpha=\frac{AE}{DE}=\frac{x}{x+5}=\frac{7}{9}$.解得$x=17.5$.经检验,$x=17.5$是原分式方程的解且符合题意.$\therefore AB=AE+BE=17.5+1.5=19(m)$.答:建筑物$AB$的高度为$19m$.