《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2
如图 6, $ BE $是 $ \triangle ABC $的角平分线,延长 $ BE $至点 $ D $,连接 $ CD $,且 $ CD = BC $。
(1) 求证： $ \triangle AEB \sim \triangle CED $。
(2) 已知 $ AB = 2 $, $ BC = 4 $, $ AE = 1 $,求 $ CE $的长。

答案：
(1) 证明：
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE（角平分线定义）。
∵CD=BC，
∴∠CBD=∠CDB（等边对等角）。
又∠CBD=∠CBE，
∴∠ABE=∠CDE。
∵∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴△AEB∽△CED（AA相似判定）。
(2) 解：
∵△AEB∽△CED，
∴AE/CE=AB/CD（相似三角形对应边成比例）。
∵CD=BC=4，AB=2，AE=1，设CE=x，
∴1/x=2/4，
解得x=2。
∴CE=2。

2. (2024 宁夏中考) 如图 7,在 $ □ ABCD $中,点 $ M $, $ N $在 $ AD $边上, $ AM = DN $,连接 $ CM $并延长交 $ BA $的延长线于点 $ E $,连接 $ BN $并延长交 $ CD $的延长线于点 $ F $。求证： $ AE = DF $。
小丽的思考过程如下：
平行四边形 $ \to $三角形相似 $ \to $对应边成比例 $ \to AE = DF $。
请参考小丽的思考过程,完成推理。

答案： 证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE//DC，DF//AB，DC = AB.
∴ △AME∽△DMC，△DNF∽△ANB.
∴ $\frac{AE}{DC}=\frac{AM}{DM}$，$\frac{DF}{AB}=\frac{DN}{AN}$.
∵ AM = DN，
∴ AM + MN = DN + MN.
∴ AN = DM.
∴ $\frac{AM}{DM}=\frac{DN}{AN}$.
∴ $\frac{AE}{DC}=\frac{DF}{AB}$.
∵ DC = AB，
∴ $\frac{AE}{DF}=\frac{DC}{AB}=1$.
∴ AE = DF.