《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

3. 一元二次方程 $x + 1 = x(x + 1)$ 的根为______.

答案： $x_{1}=1,x_{2}=-1$

4. 当 $x= $______时,代数式 $x^{2}-6$ 与 $6 - 3x$ 的值互为相反数.

答案： 0 或 3

5. 用因式分解法解下列方程：
(1)(2024 青海中考)$x^{2}-4x + 3 = 0$；
(2)$(2x + 3)^{2}+4(2x + 3)+4 = 0$；
(3)$4x^{2}-(3x + 1)^{2}= 0$；
(4)$2(x - 3)^{2}= x^{2}-9$.

答案： 解:
(1)配方,得$(x-2)^{2}-1=0$,即$(x-2)^{2}-1^{2}=0$.把方程左边因式分解,得$(x-2+1)(x-2-1)=0$,即$(x-1)(x-3)=0$.由此得$x-1=0$或$x-3=0$.解得$x_{1}=1,x_{2}=3$.
(2)把方程左边因式分解,得$(2x+3+2)^{2}=0$,即$(2x+5)^{2}=0$.解得$x_{1}=x_{2}=-\frac {5}{2}$.
(3)把方程左边因式分解,得$[2x+(3x+1)][2x-(3x+1)]=0$,即$(5x+1)(-x-1)=0$.由此得$5x+1=0$或$-x-1=0$.解得$x_{1}=-\frac {1}{5},x_{2}=-1$.
(4)原方程可化为$2(x-3)^{2}=(x-3)(x+3)$,即$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$,整理得$(x-3)(x-9)=0$.由此得$x-3=0$或$x-9=0$.解得$x_{1}=3,x_{2}=9$.

6. 若菱形两条对角线的长是方程 $x^{2}-6x + 8 = 0$ 的两个根,则该菱形的边长为( ).

A.$\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.5

答案： A 提示:配方,得$(x-3)^{2}-1=0$.把方程左边因式分解,得$(x-2)(x-4)=0$.解得$x_{1}=2,x_{2}=4$.故菱形的边长为$\sqrt {(\frac {2}{2})^{2}+(\frac {4}{2})^{2}}=\sqrt {5}$.

7. 对于实数 $a$,$b$,定义运算：$a※b = a^{2}-ab$.例如,$5※3 = 5^{2}-5×3 = 10$.若 $(x + 1)※(3x - 2)= 0$,则 $x$ 的值是______.

答案： -1 或$\frac {3}{2}$ 提示:根据题意,得$(x+1)^{2}-(x+1)\cdot (3x-2)=0$,解得$x_{1}=-1,x_{2}=\frac {3}{2}$.

8. 理解与运用
【阅读材料】
根据多项式乘法公式可知,$(x + p)(x + q)= x^{2}+(p + q)x + pq$,因此我们可以用公式 $x^{2}+(p + q)x + pq= (x + p)(x + q)$ 来分解因式,从而解一元二次方程.
【公式运用】
(1)一元二次方程 $x^{2}+6x + 8 = 0$ 可以分解为______= 0；一元二次方程 $x^{2}-7x - 30 = 0$ 可以分解为______= 0.
【拓展探究】
(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是 1 的方程也可以借助此方法求解.例如,一元二次方程 $3x^{2}-7x + 2 = 0$ 可以分解为 $(x - 2)(3x - 1)= 0$,从而快速求出方程的根.[img]

请用此方法解方程：$4x^{2}-8x - 5 = 0$.

答案： 解:
(1)$(x+2)(x+4)$ $(x-10)(x+3)$
(2)方程$4x^{2}-8x-5=0$可以分解为$(2x-5)(2x+1)=0$.所以$2x-5=0$或$2x+1=0$.解得$x_{1}=\frac {5}{2},x_{2}=-\frac {1}{2}$.