《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

8. (2023 山西中考改编)综合与实践
【问题背景】2023 年 3 月,水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022 - 2025 年)》。在推进实施母亲河复苏行动中,需要砌筑各种驳岸(用来保护河岸的构筑物)。某校综合与实践小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动,利用课余时间完成了以下实践调查。
【调查方式】资料查阅、水利部门走访、实地查看了解。
【收集材料】图 17 是某个驳岸剖面示意图,通过查阅相关数据及说明可知,点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$在同一竖直平面内,$AE与CD$均与地面平行,岸墙$AB\perp AE于点A$,$\angle BCD = 135^{\circ}$,$\angle EDC = 60^{\circ}$,$ED = 6$m,$AE = 1.5$m,$CD = 3.5$m。

【解决问题】计算$BC和AB$的长。(结果精确到$0.1$m；参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sqrt{2}\approx1.41$)

答案： 解:如图25,过点E作$EF\perp CD$于点F,延长AB,DC交于点H,则$\angle EFD=90^{\circ}$.由题意,在$Rt\triangle EFD$中,$\angle D=60^{\circ}$,$ED=6$m,$\sin\angle D=\frac{EF}{ED}$,$\cos\angle D=\frac{FD}{ED}$.$\therefore EF=ED\cdot\sin\angle D=6×\sin60^{\circ}=3\sqrt{3}$(m),$FD=ED\cdot\cos\angle D=6×\cos60^{\circ}=3$(m).$\because AB\perp AE$,$AE$与CD均与地面平行,$\therefore \angle H=90^{\circ}$,则四边形AEFH是矩形.$\therefore AH=EF=3\sqrt{3}$m,$HF=AE=1.5$m.$\because CF=CD - FD=3.5 - 3=0.5$(m),$\therefore CH=HF - CF=1.5 - 0.5=1$(m).在$Rt\triangle BCH$中,$\angle H=90^{\circ}$,$\angle BCH=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$.$\because \cos\angle BCH=\frac{CH}{BC}$,$\tan\angle BCH=\frac{BH}{CH}$,$\therefore BC=\frac{CH}{\cos\angle BCH}=\frac{1}{\cos45^{\circ}}=\sqrt{2}\approx1.4$(m),$BH=CH\cdot\tan\angle BCH=1×\tan45^{\circ}=1$(m).$\therefore AB=AH - BH=3\sqrt{3}-1\approx3×1.73-1\approx4.2$(m).答:BC的长约为$1.4$m,$AB$的长约为$4.2$m.

锐角三角函数
- 定义
正弦：$\sin \alpha = \frac{角 \alpha 的对边}{斜边}；$余弦：$\cos \alpha =$_________；正切：$\tan \alpha =$_________。
- 三角函数之间的关系
$\begin{cases} \cos \alpha = \sin (90° - \alpha) \\ \sin \alpha = \end{cases}\\ \sin \alpha = $_________。
- 特殊角的三角函数值
$\begin{cases} \sin 30° = $_________$, \sin 45° = $_________$, \sin 60° = $_________$ \\ \cos 30° = $_________$, \cos 45° = $_________$, \cos 60° = $_________$ \\ \tan 30° = $_________$, \tan 45° = $_________$, \tan 60° = $_________$ \end{cases} $
- 解直角三角形
基本类型
已知两边解直角三角形；
已知一边及一锐角解直角三角形。
应用
在几何图形中的应用：求边长、求角度。
在实际问题中的应用：求物高、河宽、航海、坡度等问题。

答案： $\frac{角\alpha的邻边}{斜边}$；$\frac{角\alpha的对边}{角\alpha的邻边}$；$\cos(90^{\circ}-\alpha)$；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$1$；$\sqrt{3}$