《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 中比例系数 $ k $ 的几何意义：

如图 1,已知 $ P(x,y) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象上任意一点,过点 $ P $ 作 $ PB \perp x $ 轴于点 $ B $,作 $ PC \perp y $ 轴于点 $ C $,则 $ S_{矩形PBOC} = OB \cdot OC = |x| \cdot |y| = |xy| = $______。
连接 $ OP $,由 $ \triangle OPB $ 与 $ \triangle OPC $ 的面积都等于矩形 $ PBOC $ 面积的一半,得 $ S_{\triangle OPB} = S_{\triangle OPC} = $______。

答案： |k|　$\frac{1}{2}$|k|

1. 正比例函数 $ y = -6x $ 与反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象的交点位于( )。

A.第一象限
B.第二象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限

答案： D

2. 如图 2,已知矩形 $ OABC $ 的面积为 $ 6 $,且反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ B $,则 $ k $ 的值为______。

答案： 6

3. 如图 3,$ P $ 是反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象上的一点,$ PA \perp x $ 轴于点 $ A $,则 $ \triangle POA $ 的面积为______。

答案： 1

例 1 如图 4,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,$ AC \perp x $ 轴,垂足为点 $ C $,且 $ \triangle AOC $ 的面积为 $ 2 $。求该反比例函数的表达式。

思路点拨 设出点 $ A $ 的坐标,用点 $ A $ 的坐标表示 $ \triangle AOC $ 的面积,进而求出 $ k $ 的值。
解 设点 $ A $ 的坐标为 $ (x_A, y_A) $。
因为点 $ A $ 在第一象限,
所以 $ x_A ＞ 0, y_A ＞ 0 $。
则 $ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}x_A \cdot y_A $。
因为反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第一、三象限,所以 $ k ＞ 0 $。
因为点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,
所以 $ x_A \cdot y_A = k $。
从而有 $ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}k = 2 $。解得 $ k = 4 $。
因此反比例函数的表达式为 $ y = \frac{4}{x} $。
易错提醒 已知相关图形的面积求 $ k $ 值时,易出现因忽视反比例函数图象所在的象限而导致符号错误的问题,解题时需要注意。

答案： 设点 $A$ 的坐标为 $(x_A, y_A)$。
因为 $\triangle AOC$ 的面积为 $2$，且 $AC \perp x$ 轴，垂足为点 $C$，
所以$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × |x_A| × |y_A| = 2$。
由于点 $A$ 在第一象限，$x_A ＞ 0$，$y_A ＞ 0$，
因此$x_A \cdot y_A = 4$。
因为点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，
所以$y_A = \frac{k}{x_A}$，
即$x_A \cdot y_A = k$。
结合 $x_A \cdot y_A = 4$，可得$k = 4$。
故反比例函数的表达式为$y = \frac{4}{x}$。