《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 相似三角形的面积比等于相似比的______.

答案： 平方

2. 相似三角形的周长比等于______.

答案： 相似比

1. (2024 四川内江中考)已知△ABC∽△DEF,且相似比为 1∶3,则△ABC 与△DEF 的周长比为( ).

A.1∶2
B.1∶3
C.1∶6
D.1∶9

答案： B

2. (2024 重庆中考)若两个相似三角形的相似比是 1∶3,则这两个三角形的面积比是( ).

A.1∶3
B.1∶4
C.1∶6
D.1∶9

答案： D

3. 已知△ABC∽△DEF,其面积的比为$\frac{4}{9}$,若△ABC 的周长为 6,则△DEF 的周长为______.

答案： 9

例 如图 1,已知在▱ABCD 中,P 是 BC 上一点,且$\frac{BP}{PC}= \frac{1}{3}$,BD,AP 相交于点 Q.

(1) 求△BPQ 与△DAQ 的周长比.
(2) 已知$S_{△BPQ}= 2cm^{2}$,求△DAQ 的面积.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵AD//BC，
∴∠QAD=∠QPB，∠QDA=∠QBP（内错角相等）。
∴△BPQ∽△DAQ（AA相似判定）。
∵$\frac{BP}{PC}=\frac{1}{3}$，设BP=k，则PC=3k，BC=BP+PC=4k。
∵AD=BC，
∴AD=4k。
∴相似比$\frac{BP}{AD}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$。
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴△BPQ与△DAQ的周长比为$1:4$。
(2)
∵△BPQ∽△DAQ，相似比为$\frac{1}{4}$，
∴面积比为相似比的平方，即$\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$。
设$S_{\triangle DAQ}=S$，则$\frac{S_{\triangle BPQ}}{S}=\frac{1}{16}$。
∵$S_{\triangle BPQ}=2\,cm^2$，
∴$\frac{2}{S}=\frac{1}{16}$，解得$S=32$。
∴△DAQ的面积为$32\,cm^2$。
(1) $1:4$；
(2) $32\,cm^2$