《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 解一元二次方程的方法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.其中,配方法、公式法、因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程.

答案： ×

2. 解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程转化为一元一次方程,即______,其本质是把方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 左边的二次多项式分解成两个______多项式的乘积,即 $ax^{2}+bx+c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$,其中 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 的两个根.

答案： 降次 一次

1. 解方程 $(x - 3)^{2}= 4$,最合适的方法是( ).

A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答案： A

2. 已知下列方程：① $2(x - 1)^{2}= 6$；② $(x - 2)^{2}+x^{2}= 4$；③ $2x^{2}-7x - 5 = 0$；④ $x^{2}+12x+35 = 0$；⑤ $x^{2}-2x - 99 = 0$.
(1) 适合用直接开平方法求解的是______.
(2) 适合用配方法求解的是______.
(3) 适合用公式法求解的是______.
(4) 适合用因式分解法求解的是______.
(以上均填序号)

答案：
(1)①
(2)④⑤
(3)③
(4)②

3. 一元二次方程 $x^{2}-7x+12 = 0$ 的根是______.

答案： $x_{1}=3,x_{2}=4$

4. 一元二次方程 $x^{2}-2x - 4 = 0$ 的根是______.

答案： $x_{1}=1+\sqrt {5},x_{2}=1-\sqrt {5}$

例 用合适的方法解方程：
(1) $(x - 5)^{2}= 16$；
(2) $x^{2}-4x - 285 = 0$；
(3) $(5x - 1)^{2}= 3(5x - 1)$；
(4) $3x^{2}-x - 5 = 0$.
思路点拨 (1) 符合 $(mx + n)^{2}= p(p\geq0)$ 的形式,适合用直接开平方法求解.
(2) 由于二次项系数为 $1$,一次项系数为偶数,且常数项的绝对值比较大,适合用配方法求解.
(3) 方程的左、右两边都有 $5x - 1$,通过移项,可利用因式分解法求解.
(4) 不能用直接开平方法,且从系数特点看,不适合用配方法和因式分解法,故利用公式法求解.
解 (1) 根据平方根的意义,得
$x - 5 = 4$ 或 $x - 5 = -4$.
因此原方程的根为 $x_{1}= 9,x_{2}= 1$.
(2) 配方,得 $x^{2}-4x+4 - 4 - 285 = 0$,
即 $(x - 2)^{2}= 289$.
由此得 $x - 2 = 17$ 或 $x - 2 = -17$.
解得 $x_{1}= 19,x_{2}= -15$.
(3) 移项,得 $(5x - 1)^{2}-3(5x - 1)= 0$.
把方程左边因式分解,得
$(5x - 1)[(5x - 1)-3]= 0$,
即 $(5x - 1)(5x - 4)= 0$.
由此得 $5x - 1 = 0$ 或 $5x - 4 = 0$.
解得 $x_{1}= \frac{1}{5},x_{2}= \frac{4}{5}$.
(4) 这里 $a = 3,b = -1,c = -5$,
因而 $b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4×3×(-5)= 61\gt0$.
所以 $x= \frac{-(-1)\pm\sqrt{61}}{2×3}= \frac{1\pm\sqrt{61}}{6}$.
因此原方程的根为
$x_{1}= \frac{1+\sqrt{61}}{6},x_{2}= \frac{1-\sqrt{61}}{6}$.

答案：
(1) $(x - 5)^{2}= 16$
根据平方根的意义，得 $x - 5 = 4$ 或 $x - 5 = -4$
解得 $x_{1}=9$，$x_{2}=1$
(2) $x^{2}-4x - 285 = 0$
配方，得 $x^{2}-4x + 4 = 285 + 4$，即 $(x - 2)^{2}=289$
由此得 $x - 2 = 17$ 或 $x - 2 = -17$
解得 $x_{1}=19$，$x_{2}=-15$
(3) $(5x - 1)^{2}= 3(5x - 1)$
移项，得 $(5x - 1)^{2}-3(5x - 1)=0$
因式分解，得 $(5x - 1)(5x - 1 - 3)=0$，即 $(5x - 1)(5x - 4)=0$
由此得 $5x - 1 = 0$ 或 $5x - 4 = 0$
解得 $x_{1}=\frac{1}{5}$，$x_{2}=\frac{4}{5}$
(4) $3x^{2}-x - 5 = 0$
这里 $a=3$，$b=-1$，$c=-5$
$b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×3×(-5)=1 + 60=61\gt0$
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{61}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{61}}{6}$
解得 $x_{1}=\frac{1+\sqrt{61}}{6}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$