《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 某学校教学楼前的喷水池喷头喷出的水流呈抛物线形(如图5),水柱喷出的竖直高度$y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y = -(x - 2)^{2} + 6$,则水柱的最大高度是( )。

A.$2m$
B.$3m$
C.$4m$
D.$6m$

答案： D

2. 隧道的截面呈抛物线形,以抛物形的对称轴为$y$轴,对称轴与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,抛物线所对应的函数的表达式为$y = -\frac{1}{4}x^{2} + 3.2$。一辆车高$2m$、宽$2.4m$,该车______通过隧道。(填“能”或“不能”)

答案： 能　提示:假设车行驶在隧道正中间.将$x = 1.2$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+3.2$,得$y = 2.84$.因为$2.84＞2$,所以该车能通过隧道.

3. (2022江苏连云港中考)如图6,一名篮球运动员投篮,球沿抛物线$y = -0.2x^{2} + x + 2.25$运动,然后准确地落入篮筐内,已知篮筐的中心到地面的高度为$3.05m$,则他距篮筐中心的水平距离$OH$是______m。

答案： 4　提示:当$y = 3.05$时，有$-0.2x^{2}+x + 2.25 = 3.05$,即$x^{2}-5x + 4 = 0$.解得$x_1 = 1$,$x_2 = 4$.故$OH = 4m$.

4. (教材第32页习题第1题变式)某公园草坪的防护栏由$100$段形状相同的抛物线组成,为了使防护栏更加牢固,每段防护栏需要每间隔$0.4m$加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点到底部距离为$0.5m$(如图7)。求这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度。

答案： 解:建立图52所示的平面直角坐标系,则$A(-1,0)$,$B(1,0)$,$C(0,0.5)$,$D(0.2,0)$,$F(0.6,0)$.设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x - 1)(x + 1)$.把$C(0,0.5)$的坐标代入,得$a = -0.5$.所以$y=-0.5(x - 1)(x + 1)=-0.5x^{2}+0.5$.当$x = 0.2$时,$y = 0.48$;当$x = 0.6$时,$y = 0.32$.则$DE = 0.48$,$FP = 0.32$.由抛物线的对称性,得每段防护栏需要不锈钢支柱的总长度为$2(DE + FP)=2×(0.48 + 0.32)=1.6(m)$.因此100段防护栏需要不锈钢支柱的总长度为$100×1.6 = 160(m)$.答:这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为$160m$.