《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 某便民商店经营一种商品,在销售过程中发现,一周利润 $ y $(元)与每件售价 $ x $(元)之间满足函数表达式 $ y = -2(x - 20)^2 + 1558 $,每件售价的取值范围为 $ 15 \leq x \leq 19 $,那么一周可获得的最大利润是( )。

A.1508 元
B.1556 元
C.1558 元
D.1560 元

答案： B 提示:当$x=19$时,$y$取得最大值.

2. (2024 山东泰安中考)如图 3,小明的爸爸想用长为 60 m 的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长 40 m,则可围成的菜园的最大面积是______ $ m^2 $。
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答案： 450 提示:设与墙垂直的一边的长为$x\ m$,矩形菜园的面积为$y\ m^2$.则$y=x(60-2x)=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450$.由题意得$0＜60-2x\leqslant40$.解得$10\leqslant x＜30$.因为$-2＜0$,所以当$x=15$时,$y$的值最大,即围成的菜园面积最大,最大面积为$450\ m^2$.

3. 某商店销售一批头盔,售价为每顶 80 元,每月可售出 200 顶。在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现,每降价 1 元,每月可多售出 20 顶。已知头盔的进价为每顶 50 元,要使该商店每月获得利润最大,每顶头盔的售价应定为多少元？

答案： 解:设每顶头盔的售价为$x$元,获得的利润为$w$元.根据题意,得$w=(x-50)[200+20(80-x)]=-20x^2+2800x-90000=-20(x-70)^2+8000$,因为$0\leqslant x\leqslant80$,所以当$x=70$时,$w$取得最大值.答:每顶头盔的售价应定为70元.

1. 某童装专卖店销售一款童装,已知销售该款童装每天所获的利润 $ y $(元)与该款童装的售价 $ x $(元)之间满足函数关系 $ y = -x^2 + 50x - 500 $。要想每天获得的利润最大,每件的售价应为( )。

A.20 元
B.24 元
C.25 元
D.26 元

答案： C

2. 如图 4,$ \triangle ABC $ 是直角三角形,$ \angle A = 90° $,$ AB = 8 cm $,$ AC = 6 cm $。点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ AB $ 边以 2 cm/s 的速度向点 $ B $ 运动,同时点 $ Q $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ AC $ 边以 1 cm/s 的速度向点 $ C $ 运动,其中一个动点到达终点,另一个动点也停止运动。则 $ \triangle APQ $ 面积的最大值是( )。


A.$ 8 cm^2 $
B.$ 16 cm^2 $
C.$ 24 cm^2 $
D.$ 32 cm^2 $

答案： B 提示:设运动时间为$t\ s$,则$AP=2t\ cm$,$AQ=t\ cm$.设$\triangle APQ$的面积为$S$,则$S=\frac{1}{2}\cdot2t\cdot t=t^2$.因为$0＜2t\leqslant8$,$0＜t\leqslant6$,所以$0＜t\leqslant4$.因此当$t=4$时,$S$取得最大值,最大值为$16\ cm^2$.

3. 已知某商品的进价为每件 40 元,现在的售价是每件 60 元,每周可卖出 300 件。经市场调查发现,若调整价格,每涨价 1 元,每周要少卖出 10 件。为使利润最大,售价应为每件______元。

答案： 65 提示:设每件涨价$x$元,利润为$y$元,则$y=(60+x-40)(300-10x)=-10x^2+100x+6000=-10(x-5)^2+6250$.故当$x=5$,即每件售价为65元时,利润最大.

4. 手工课上,小明准备做一个菱形的风筝。这个菱形两条对角线长度之和恰好为 60 cm,面积 $ S (cm^2) $ 随其中一条对角线的长 $ x (cm) $ 的变化而变化。则当 $ x = $______ cm 时,菱形风筝的面积 $ S $ 最大,最大面积是______ $ cm^2 $。

答案： 30 450 提示:$S=\frac{1}{2}x(60-x)=-\frac{1}{2}x^2+30x=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$,$0＜x＜60$.所以当$x=30\ cm$时,菱形风筝的面积$S$最大,最大面积是$450\ cm^2$.

5. 打油茶是广西少数民族的一种民俗。某特产公司近期销售一种盒装油茶,每盒的成本价为 50 元,经市场调研发现,该种油茶的月销售量 $ y $(盒)与销售单价 $ x $(元)之间的函数图象如图 5。

1. 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
2. 当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润。

答案： 1.解:设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$,将$(60,200)$,$(80,100)$代入,得$\begin{cases}60k+b=200,\\80k+b=100.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-5,\\b=500.\end{cases}$所以$y=-5x+500$.当$y=0$时,有$-5x+500=0$,解得$x=100$.所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-5x+500(50＜x＜100)$. 2.解:设月销售利润为$w$元,则$w=(x-50)\cdot(-5x+500)=-5x^2+750x-25000=-5(x-75)^2+3125$.因为$-5＜0$,$50＜x＜100$,所以当$x=75$时,$w$有最大值,最大值为3125.因此当销售单价定为75元时,该种油茶的月销售利润最大,最大利润是3125元.